En el sistema de números reales, la ecuación$\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=1$ tiene cuántas soluciones?

Question

En el sistema de números reales, la ecuación$\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=1$ tiene cuántas soluciones?

Intenté cambiar el segundo término a la derecha y al cuadrado. Incluso después de eso me quedo con raíces cuadradas. No tengo idea de cómo proceder. ¡Ayuda!

Answer 1

Insinuación:

Tenga en cuenta que$$x+3-4\sqrt{x-1}=x-1-4\sqrt{x-1}+4=(\sqrt{x-1}-2)^2$ $

y

PS

Después, puedes probar por casos.

Answer 2

Establecer$x=z^2+1$. Luego:$$ \sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+3-8\sqrt{x-1}} = \sqrt{(z-2)^2}+\sqrt{(z-3)^2} = |z-2|+|z-3| $ $ es igual a uno por cada$z\in[2,3]$, por lo tanto, por cada$x\in[5,10]$.

Answer 3

Me pareció extraño. Así que las soluciones son$x \in [5,10]$. Supongo que no sería demasiado difícil demostrarlo formalmente.

Sugerencia: las partes imaginarias se cancelan en este intervalo.

Answer 4

\begin{align} &\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}} = 1\\ \implies &\sqrt{(x-1)-4\sqrt{x-1} + 4}+\sqrt{(x-1)-6\sqrt{x-1}+9}=1\\ \implies &\sqrt{(\sqrt{x-1}-2)^2}+\sqrt{(\sqrt{x-1}-3)^2}=1\\ \implies &|\sqrt{x-1}-2| + |\sqrt{x-1}-3| = 1\tag{1} \end{align}

Esto requiere un trabajo de casos:

---

1. $\quad\sqrt{x-1}\geq 3$

$(1)\implies \sqrt{x-1}-2 + \sqrt{x-1}-3 = 1\implies \sqrt{x-1} = 3\implies x=10$

---

2. $\quad 2\leq\sqrt{x-1} < 3$

$(1)\implies \sqrt{x-1}-2 - \sqrt{x-1}+3 = 1\implies 1 = 1$ y, por lo tanto, todos los$x$ tales que$2\leq\sqrt{x-1} < 3$, es decir,$x\in [5,10\rangle$

---

3. $\sqrt{x-1} < 2$

$(1)\implies -\sqrt{x-1}+2 - \sqrt{x-1}+3 = 1\implies \sqrt{x-1} = 2 \implies x = 5$, pero este$x$ no satisface nuestra condición 3 (aunque sí cumple la condición 2, y ya está incluido como una solución)

---

Tomando la unión, concluimos que cualquier$x\in[5,10]$ es una solución a la ecuación.

Answer 5

$$x+3-4\sqrt{x-1}=x-1+4-4\sqrt{x-1}=(x-1)-4\sqrt{x-1}+4=(\sqrt{x-1}-2)^2$$ Similarly $$x+8-6\sqrt{x-1}=(\sqrt{x-1}-3)^2$ $ de donde proviene la respuesta.

No es una ecuación, sino una identidad en su dominio de definición. Esta es la razón por la que hay infinitas soluciones y no el número finito esperado de una ecuación verdadera con coeficientes en un campo. Por ejemplo la "ecuación"

$$\sqrt[3]\frac{x^3-3x+(x^2-1)\sqrt{x^2-4}}{2}+\sqrt[3]\frac{x^3-3x-(x^2-1)\sqrt{x^2-4}}{2}=x$ $ tiene todos los reales como soluciones.