Curva de longitud $L=1$ contenida en un semicírculo de diámetro $2R=1$ .

Question

Cómo demostrar que para cualquier curva $\alpha(s)$ de longitud $L=1$ en el plano real, existe un semicírculo de diámetro $2R=1$ que lo contiene.

Se agradecerá cualquier sugerencia.

Answer 1

Me di por vencido, busqué en Google y encontré un argumento extremadamente elegante (debido a A. Meir) aquí. Supongo que lo difícil era localizar el centro del semicírculo.

Answer 2

Esto (el análisis real) no es un tema que se me dé bien, pero creo que tengo una solución.
Supongamos que $\alpha$ tiene longitud dos por lo que el radio del círculo es $1$ . Tome el punto medio de $\alpha$ (el punto para el que se obtienen las dos curvas al cortar $\alpha$ tienen la misma longitud) y llamarlo $M$ . Ahora, a ambos lados de $M$ la curva tiene una longitud $1$ . Ahora mira el disco (cerrado) con el punto medio $M$ y el radio $1$ . Dado que este disco es, por definición, el conjunto de puntos con distancia como máximo $1$ desde el centro, todos los puntos que no están en este disco tienen una distancia $M$ estrictamente mayor que $1$ . Este punto (digamos $P$ ) no puede formar parte de $\alpha$ porque entonces, la distancia $|PM|$ sería mayor que $1$ y un segmento de línea recta es más corto que cualquier otra curva que conecte $P$ y $M$ (esto se deduce intuitivamente de la desigualdad del triángulo) la parte $PM$ de la curva debe ser mayor que $1$ , pero tiene longitud $1$ por lo que es una contradicción. Por lo tanto, siempre podemos dibujar un disco de radio $1$ que cubre completamente una curva con longitud $2$ .

Los únicos fallos posibles que veo son que un segmento de línea recta es la conexión más corta posible y que el límite del disco (conjunto de puntos $P$ con $d(P,M)\leq 1$ ) no es trivialmente igual al círculo de radio $1$ alrededor de $M$ .