La relación de integridad de QM en términos de productos internos

Question

Recuerdo de QM que la relación de completitud dice

$$ \sum_{n=1}^\infty |e_n\rangle \langle e_n | = I$$

para que $\langle x\mid y\rangle =\sum_{n=1}^\infty \langle x\mid e_n\rangle \langle e_n \mid y\rangle$ .

Recientemente estaba tratando de demostrar un resultado sobre los operadores de Trace y un cálculo era

$$\sum_{k=1}^n \langle A g_k , h_k \rangle = \sum_{k=1}^n \operatorname{tr}(A(g_k\otimes h_k))$$ Donde aparentemente si $f\in X^*$ y $y\in Y$ definimos $y\otimes f:X\to Y$ por $(y\otimes f)(x) = f(x)y$ ; mi intento de esto:

$$\sum_{k=1}^n \operatorname{tr}(A(g_k\otimes h_k)) = \sum_{k=1}^n\sum_{i=1}^\infty \langle A(g_k \otimes h_k) e_i, e_i\rangle$$ $$= \sum_{k=1}^n\sum_{i=1}^\infty \langle A(\langle e_i,h_k\rangle g_k), e_i\rangle = \sum_{k=1}^n\sum_{i=1}^\infty \langle Ag_k,e_i\rangle\langle e_i,h_k\rangle$$

Así que usando mi enfoque ingenuo de la mecánica cuántica sólo concluyo que el último término es $\sum_{k=1}^n \langle A g_k , h_k \rangle $ .

Sin embargo, esto me inquieta porque $\langle \cdot , \cdot \rangle$ es un producto interno, mientras que $\langle \cdot \mid \cdot \rangle$ es la notación bra-ket... lo que sea que eso signifique.

1) ¿Puedo aplicar la relación de integridad para llegar a mi conclusión?

2) ¿Existe una relación canónica entre $\langle \cdot, \cdot \rangle$ y $\langle \cdot \mid \cdot \rangle$ ?

3) Cómo puedo demostrar la relación de completitud (creo que es un axioma en QM, pero considero que su equivalencia (en el análisis funcional (si existe)) es un teorema).

Answer 1

Teorema: Dejemos que $H$ sea un espacio de Hilbert real o complejo, y sea $\{e_{\alpha}\}_{\alpha\in\Lambda}$ sea un subconjunto ortonormal de $H$ . Los siguientes son equivalentes:

1. $\{ e_{\alpha} \}_{\alpha\in\Lambda}$ es un conjunto ortonormal completo, lo que significa que el único $x\in H$ que es ortogonal a cada $e_{\alpha}$ es $x=0$ .

2. La identidad de Parseval $\|x\|^2=\sum_{\alpha\in\Lambda}|\langle x,e_{\alpha}\rangle|^2$ es válida para todos los $x \in H$ .

3. La identidad $\langle x,y\rangle = \sum_{\alpha\in\Lambda}\langle x,e_{\alpha}\rangle\langle e_{\alpha},y\rangle$ es válida para todos los $x,y\in H$ .

4. El subespacio formado por todas las combinaciones lineales finitas del $e_{\alpha}$ es denso en $H$ .

Las convenciones en Quantum previstas para los vectores ket $|x\rangle$ . Los sujetadores son funcionales lineales. En un espacio de Hilbert existe un mapa canónico $x \mapsto x^*$ de vectores a funciones lineales dadas por $x^*(y)=\langle y,x\rangle$ . De este modo, puede tratar $\langle y | x\rangle$ de la misma manera que $\langle x,y\rangle$ mediante el uso del mapa canónico.