Los distintos tipos de Convergencia de una Serie de la Función

Question

Actualmente estoy investigando la convergencia de la siguiente función,

$f(x)=\sum\limits_{k=1}^{\infty} \dfrac{x^{k}+\sin(k)}{k^{2}}$

para los diferentes "sentidos". Me han demostrado que $f(x)$ converge uniformemente y pointwisely para su dominio. Lo único que me queda hacer es investigar si converge en el $L^{p}$ sentido. El problema es que no tengo absolutamente ninguna idea de lo que esto significa! Mis conocimientos sobre esta $L^{p}$ es muy mínima, y me parece que no puede encontrar nada en la www o Rudin. Si alguien me explicara lo esta $L^{p}$ negocio es sería muy apreciado. Un par de sub-preguntas que tengo son:

• ¿Cómo se diferencia de convergencia uniforme?
• Cualquier geométricas interpretaciones?
• Sé que $p\geq1%$. ¿Cómo cada cada valor de $p$ afectan a la convergencia?
• ¿Hay alguna relación entre cada una de las $L^{p}$?

Si alguien sabe de alguna buena referencia a mis preguntas específicas, que también sería muy apreciada.

Gracias de avanzada a todos por su tiempo.

Answer 1

Así podemos ver que $|f(x)|=|\sum_{k=1}^\infty\frac{x^k+sin(k)}{k^2}|\leq\sum_{k=1}^\infty|\frac{x^k+sin(k)}{k^2}|\leq \sum_{k=1}^\infty|\frac{x^k}{k^2}|+\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}=\sum_{k=1}^\infty|\frac{x^k}{k^2}|+\frac{\pi^2}{6}$

Ahora, como usted dijo que si nos restringimos a $x\in[0,\frac{1}{2})$ (verá más adelante el por qué, entonces tenemos $|f(x)|\leq\sum_{k=1}^\infty|\frac{x^k}{k^2}|+\frac{\pi^2}{6}\leq \sum_{k=1}^\infty x^k+\frac{\pi^2}{6}=\frac{1}{1-x}+\frac{\pi^2}{6}$

Ahora bien, como decía $\|f\|_p=(\int |f|^pdx)^{\frac{1}{p}}$.

Veamos $L^1$ aquí $\|f\|_1=\int_0^\frac{1}{2}|f(x)|dx=\int_0^\frac{1}{2}\frac{1}{1-x}+\frac{\pi^2}{6}dx=(-\ln(1-x)+\frac{\pi^2}{6}x)|_0^1=-\ln{\frac{1}{2}}+\frac{\pi^2}{6}=\ln(2)+\frac{\pi^2}{6}\lt\infty$, lo $f\in L^1$.

Esto es todo lo que he pensado hasta ahora, pero espero que te ayude un poco.

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He pensado en una forma mucho mejor para hacer esto.

Nosotros, como antes de restringir a $|x|\le 1$, entonces:

$|f(x)|=|\sum_{k=1}^\infty\frac{x^k+sin(k)}{k^2}|\leq\sum_{k=1}^\infty|\frac{x^k+sin(k)}{k^2}|\leq\sum_{k=1}^\infty\frac{2}{k^2}=\frac{\pi^2}{3}$

Por Lo Tanto $\int_{-1}^{1}|f(x)|^pdx\leq\int_{-1}^{1}(\frac{\pi^2}{3})^pdx=2(\frac{\pi^2}{3})^p\lt\infty$, Lo $f\in L^p([-1,1])$