Prueba $x^{n}-5x+7=0$ no tiene raíces racionales

Question

Esta pregunta se plantea en la pregunta 2 del documento III de STEP 2011. El documento se puede encontrar aquí .

La primera parte de la pregunta requiere que demostremos el resultado de que si el polinomio $$x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_{0}$$ donde cada uno de los $a_{n}$ son números enteros, tiene una raíz racional si y sólo si esa raíz es un número entero. No da un nombre para este resultado.
EDIT: el usuario69810 ha señalado que en realidad se trata del teorema de la raíz racional.

A continuación, vamos a utilizar este resultado para demostrar que el polinomio $$x^{n}-5x+7=0$$ no tiene soluciones racionales para $n\ge 2$ . Mi argumento fue el siguiente:
Si existe una raíz racional, entonces debe ser un número entero.
Si existe una raíz entera, entonces $$x^{n}=5x-7$$ para algunos enteros $x$ y $n\ge 2$ . Entonces el LHS es divisible por $x$ , lo que significa que $7$ debe ser divisible por $x$ . Por lo tanto, $x \in \{-7,-1,1,7\}$ . La comprobación de cada uno de ellos muestra que no hay ninguna raíz racional.

¿Es correcta esta solución? No es la que aparece en las soluciones, pero si es correcta creo que es más elegante que la de ellos.

Answer 1

Has identificado correctamente las posibles raíces racionales y has demostrado que ninguna de ellas funciona. Es una buena aplicación del teorema de la raíz racional.

Answer 2

Sí, es correcto. Más sencillo: Prueba de la raíz racional $\,\Rightarrow\,x\in\Bbb Z\,\Rightarrow\, 7 = 5x\!-\!x^n\,$ es uniforme, contradictorio.

Answer 3

Creo que no es correcto, porque estás asumiendo que si $x|5x-7$ entonces $x|7$ . Esto no es cierto en general. Piensa por ejemplo en $2+4$ . Por supuesto $6|2+4$ pero $6$ no divide $2$ ni $4$ . Lo que se puede decir es que $x(x^{n-1}-5)=7$ pero $7$ es primo, entonces debe tener $x=1$ y $x^{n-1}-5=7$ o $x=7$ y $x^{n-1}-5=1$ . Pero ambos son absurdos porque $x=1$ y $x=7$ no resuelve la ecuación. Como puedes ver el resultado es bastante parecido, pero el procedimiento es bastante diferente para lo que suponías al principio. Sólo una observación, lo que has llamado criterio de Eisenstein es el lema de Gauss, el criterio de Eisenstein trata de la irriducibilidad en $\mathbb{Q}[x]$ .