Dar un ejemplo de un inyectiva anillo homomorphism $f : R \to S$ donde $R$ es conmutativa, sino $S$ no es conmutativa

Question

Me siento como matrices sería la manera correcta de ir a por algo que no conmutan. Sin embargo, la matriz de

$$ \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix}$$

los desplazamientos.

Answer 1

Considere la posibilidad de cualquier diagonal de la incrustación de $R\longrightarrow M_n(R)$$n>1$, es decir, enviar a $r\mapsto {\rm diag}(r,\ldots,r)$. Un simple ejemplo es $Z(R)\hookrightarrow R$ para cualquier no conmutativa anillo de $R$!

Answer 2

Usted debe ser consciente del hecho de que su homomorphism no debe ser surjective. Probablemente estás pensando a $$ \mathbb{C}\a M_2(\mathbb{R}), \qquad a+bi\mapsto\begin{bmatrix}a & b\\ -b &a\end{bmatrix} $$ que es un buen ejemplo.

Más fácil, el mapa $$ F\a M_2(F), \qquad un\mapsto\begin{bmatrix}a & 0\\0 &a\end{bmatrix} $$ donde $F$ es un campo y $M_2(F)$ es el anillo de $2\times2$ matrices.