Pregunta de probabilidad/"rompecabezas"

Question

Dado que tengo algún número X.

Puedo dibujar un número aleatorio R a partir de la distribución uniforme en la unidad de intervalo y la construcción de dos nuevos números, y, Z, a través del siguiente procedimiento:

Y = R*X

Z = X - Y

¿Cuál es la probabilidad de que ni Y o Z (no exclusiva) están por debajo de los 1? Tal y como yo lo veo, la probabilidad sería $(1-\frac{2}{X})$ - es esto correcto?

Answer 1

Asumiendo $X \gt 1$ (si no, tanto en $Y$ $Z$ estará por debajo de $1$), $P(Y \lt 1)=\frac 1X$ y $P(Z \lt 1)= \frac 1X$. Mientras $X \gt 2$ estos son distintos y la posibilidad de que uno de ellos es menor que $1$$\frac 2X$. Si $1 \lt X \lt 2$ uno de ellos es, sin duda, por debajo de $1$. Si $X \gt 2$, la probabilidad de que ninguno de $Y$ ni $Z$ es de menos de $1$ luego $1-\frac 2X$

Answer 2

Si $1\lt X\lt 2 $, entonces la fórmula $1-\frac{2}{X}$ no puede ser correcto, ya que una probabilidad no puede ser negativa.

Queremos que la probabilidad de que ninguno de $RX$ ni $(1-R)X$ está por debajo de $1$, o, equivalentemente, que tanto se $\ge 1$.

Esto es $0$ si $X\le 1$.

Para $X\gt 1$, queremos que la probabilidad de que $R\ge \frac{1}{X}$$R\le 1-\frac{1}{1-X}$. Si $X\lt 2$, esto es imposible.

Para $X\ge 2$, la probabilidad es $\left(1-\frac{1}{X}\right)-\frac{1}{X}$, que es, de hecho,$1-\frac{1}{X}$.