La intuición detrás del fracaso de unimodularity

Question

Si $G$ es localmente compacto grupo, a continuación, hasta la normalización se admite una única medida de Haar: a la izquierda invariante medida definidos en todos los subconjuntos de Borel $G$, que asigna a cada conjunto compacto de un número finito de medida. La medida puede ser elegido para ser el derecho de todos los idiomas, pero no ambos a la vez: si un localmente compacto grupo admite una medida que tanto la izquierda y la derecha invariante, entonces se dice que es unimodular. Ejemplos de unimodular grupos son grupos compactos y abelian grupos.

Estoy interesado en una intuitiva caracterización de unimodularity. El siguiente va a hacer:

1. Algo en la vena de "conectarse" = "sin agujeros" o "pacto" = "limitado y sin agujeros"
2. Un ejemplo de un grupo que no se unimodular con un argumento convincente de que este es el caso, pero sin la directa cálculos. Sé que el ejemplo de la orientación de la preservación de transformaciones afines en la línea real, pero la prueba de que este grupo no es unimodular utiliza el hecho de que este grupo es homeomórficos a un colector. Me gustaría ver un ejemplo en el que es más conceptual, como una prueba para la automorphism grupo de un localmente finito gráfico.

Answer 1

Esta es, probablemente, la explicación no te gusta, ya que implica el uso de la Mentira de la estructura, pero parece increíblemente sencillo para mí y no veo lo que usted podría pedir que es más simple.

Deje $G$ ser una Mentira grupo. $G$ actúa sobre sí mismo por conjugación, la fijación de la identidad, y por lo tanto $G$ actúa en $T_e(G)$, el espacio de la tangente a la identidad. Escribir $Ad(g)$ por la acción de la $g \in G$$T_e(G)$. El grupo es unimodular si y sólo si $\det(g)= \pm 1$ todos los $g \in G$.

Explicación En una Mentira grupo, una medida es básicamente una forma de volumen. (Hay algunas sutilezas acerca de signo, pero vamos a ignorarlos por ahora.) Si elegimos una forma de volumen $\omega$ en el espacio de la tangente a la identidad (conocido como $\mathfrak{g}$), entonces tenemos una forma de volumen en $T_g(G)$ $(Lg)_{\ast} \omega$ donde $Lg$ está a la izquierda de la multiplicación por $g$. La forma en $G$ $(Lg)_{\ast} \omega$ $g$ se deja invariante, por lo que debe ser la medida de Haar. (De nuevo, hasta firmar molestias debido a las medidas frente a volumen de formularios.) Simultáneamente, se obtiene un derecho invariante forma de volumen por $(Rg)_{\ast} \omega$. Así que queremos saber si $(Lg)_{\ast} \omega = (Rg)_{\ast} \omega$. Equivalente, queremos $(Rg^{-1})_{\ast} (Lg)_{\ast} \omega = \omega$. El lado izquierdo es precisamente la acción de la conjugación por $g$ en el volumen de las formas en la identidad. Explícitamente, $(R g^{-1})_{\ast} (Lg)_{\ast} \omega = \det Ad(g) \omega$.

Desenrollar las cuestiones acerca de los signos, en realidad queremos $\det Ad(g) = \pm 1$.

Ejemplo Vamos a $G$ ser el grupo $\left( \begin{smallmatrix} u & v \\ 0 & 1 \end{smallmatrix} \right)$ donde $u$ es un cero real y $v$ es real. Entonces $$ \begin{pmatrix} u & v \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1+x & y \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u & v \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} 1+x & -vx + uy \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$ Por lo $G$ actúa en el espacio de la tangente por $$ \begin{pmatrix} u & v \\ 0 & 1 \end{pmatrix} : \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x \\ -vx + uy \end{pmatrix}$$ cual es descrita por la matriz $$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -v & u \end{pmatrix}.$$ Desde el determinante es $u \neq 1$, el grupo no es unimodular.

Nota técnica Generalmente, nos tire hacia atrás de formas diferenciales, no les empuje hacia adelante. Si $h$ es un automorphism de un colector $X$, escribo $h_{\ast}$$(h^{-1})^{\ast}$; esto reduce el número de matrices inversas necesito, y me parece que conduce a una presentación de limpiador.

---

Aquí es una manera de hacer lo anterior más concreto y geométricas. Deje $S$ ser la plaza $$\left\{ \begin{pmatrix} 1+x & y \\ 0 & 1 \end{pmatrix} : |x|, |y| \leq 1/2 \right\}$$ y deje $p$ ser un número impar. Si no me tornillo hasta los detalles, a continuación $$\bigcup_{i=-(p-1)/2}^{(p-1)/2} \ \begin{pmatrix} \frac{1}{p} & \frac{i}{p} \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot S \cdot \begin{pmatrix} \vphantom{\frac{1}{p}} p & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \ = \ \bigcup_{i=-(p-1)/2}^{(p-1)/2} \left\{ \left( x, \frac{y+i}{p} \right) : (x,y) \in S \right\} = S.$$

Así, si tenemos una a la izquierda y a la derecha invariante en la medida en $G$, tendríamos $\mu(S) = p \mu(S)$ e lo $\mu(S) = 0$ o $\infty$. Pero $S$ es compacto y contiene un conjunto abierto, por lo que debería haber positiva finito medida.

Answer 2

Aquí es un ejemplo que involucra automorfismos de local grafos finitos. Deje $T$ ser el infinito $r$-regular para $r \geq 3$ árbol. Deje $(v_0, v_1, v_2, \ldots)$ ser algunos de los infinitos sin retroceso camino a través de él. Deje $K$ el grupo de todas las simetrías $g$$T$, de modo que $g(v_i)=v_i$. Deje $G$ el grupo de todas las simetrías $g$ $T$ para las que no existe$N \geq 0$$d \in \mathbb{Z}$, de modo que $g(v_i) = v_{i+d}$$i \geq N$, topologized en la forma habitual.

Yo ahora esbozar las pruebas de tres cosas:

$K$ es compacto Deje $U(i,d)$ ser el conjunto de todos los vértices de $T$ a pie $\leq d$$v_i$. A continuación, $T = \bigcup_{i \geq 0, d \geq 0} U(i,d)$ $K$ toma cada una de las $U(i,d)$ a sí mismo, por lo $K$ incrusta en el producto del grupo simétrico $\prod_{i,d} S(U(i,d))$. Con un poco de pensamiento se puede ver que $K$ es cerrado en la topología producto, por lo $K$ es compacto. $\square$

$K$ es un barrio abierto de la identidad en $G$ Definir un continuo homomorphism $G \to \mathbb{Z}$ $g \mapsto d$ donde $g(v_i) = v_{i+d}$ $d$ lo suficientemente grande. Deje $G_0$ ser el núcleo; desde $\mathbb{Z}$ es discreto, $G_0$ es un barrio abierto de la identidad en $G$. Ahora vamos a $L$ ser el conjunto de todos los vértices $x$$T$, de modo que $x$ está a la distancia de $i$ $v_i$ algunos $i$. Tenemos un mapa de $\phi: G_0 \to L$ envío de $g$$g(v_0)$, y este es continua por la topología discreta en $L$. Por lo $\phi^{-1}(v_0)$ es un barrio abierto de la identidad en $G_0$, y pretendemos $\phi^{-1}(v_0)=K$. Por definición, si $g \in K$,$g(v_0)=v_0$. Por el contrario, si $g \in G_0$$g(v_0)=v_0$, $g$ corrige $(v_0, v_i, v_{i+1}, v_{i+2}, \ldots, )$ algunos $i$. Pero luego también soluciona todos los puntos en el camino de$v_0$$v_i$, lo $g$ está en $K$. $\square$

$G$ no es unimodular Supongamos que hay a la izquierda y a la derecha invariante de medida $\mu$. Desde $K$ es abierto y compacto, tendríamos $0 < \mu(K) < \infty$. Ahora, vamos a $g \in G$ ser algún mapa con $g(v_i) = v_{i+1}$ todos los $i$. Si $\mu$ estaban a la izquierda y a la derecha de todos los idiomas, tendríamos $\mu(g K g^{-1}) = \mu(K)$. Pero es fácil ver que $g K g^{-1}$ es el conjunto de simetrías del árbol que arreglar $(v_1, v_2, \ldots, )$. Por lo $K$, siendo las simetrías que también fix $v_0$, es un índice de $r-1$ subgrupo de $g K g^{-1}$, lo $\mu(g K g^{-1}) = (r-1) \mu(K)$.

---

Aquí es un ejemplo que interpola la de arriba y la más estándar $\mathbb{R}^{\times} \ltimes \mathbb{R}$. Ver el $G:= \mathbb{Q}_p^{\times} \ltimes \mathbb{Q}_p$. El estándar de cálculo con matrices (ver mi otra respuesta) muestra que la conjugación por $\left( \begin{smallmatrix} p & 1 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix} \right)$ dilata el espacio de la tangente por a $p$, por lo que no puede ser una medida de Haar. Puedo hacer esto muy explícitos en términos de los barrios de la identidad: Si $K = \left( \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}_p^{\times} & \mathbb{Z}_p \\ 0 & 1 \end{smallmatrix} \right)$$g = \left( \begin{smallmatrix} p & 1 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix} \right)$,$g K g^{-1} = \left( \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}_p^{\times} & p \mathbb{Z}_p \\ 0 & 1 \end{smallmatrix} \right)$. Por lo $gK g^{-1}$ es el índice de $p$$K$, y no podemos tener $\mu(g K g^{-1}) = \mu(K)$.

He encontrado el ejemplo anterior de tomar la acción de éste sobre el Bruhat-Tits árbol, y la abstracción de todas las propiedades no podría estar indicado el uso de los árboles.