Puede una perturbación de una matriz producto siempre ser representado como el producto de las perturbaciones de su factor de matrices?

Question

Dado $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$ $A=BC$ algunos $B\in\mathbb{R}^{m\times k}, C\in\mathbb{R}^{k\times n}$. Suponga que $k\geq\min(m,n)$, de modo que esta descomposición siempre existe para cada $A\in\mathbb{R}^{m\times n}.$

Podemos probar que para cualquier perturbación $A'$$A$, siempre existen algunas perturbaciones $B',C'$ $B,C$ tal que $A'=B'C'?$ Más precisamente, vamos a $\epsilon>0$ $A'$ satisfacción $||A-A'||<\epsilon$ para algunos adecuado de la norma. Muestran que no siempre existen dos matrices $B',C'$ que cumplan las siguientes condiciones:

a) $A'=B'C'$

b) $||B'-B||$ $||C'-C||$ puede ser superior delimitada por $\epsilon$ y otros términos constantes.

La segunda condición implica que $B'$ $C'$ puede ser elegido para ser lo suficientemente cerca de a $B$ $C$ mientras $A'$ es lo suficientemente cerca de a $A.$ Además, tenga en cuenta que no hay ninguna restricción en $B$$C$, salvo que $k\geq\min(m,n).$

Intuitivamente creo que debería ser posible, pero no puedo demostrar/desacreditarla. Si esto no es posible, ¿qué condiciones se requieren para su existencia de $B',C'$?

Gracias,

Answer 1

Algunos pensamientos, pero no una respuesta completa:

La función de $(B, C) \mapsto A$ es continua y (por su asunción en $k$, surjective). Se ve como si la respuesta puede ser "sí". Toma algunos de destino $A$, y mirar la preimagen de un barrio de $A$, y obtener un conjunto abierto que contiene a su particular$B$$C$. Así que usted puede recoger una pelota alrededor de $(B, C)$ y el balón es enviado dentro del barrio. Pero, ¿es la TAPA abierta de la bola en la meta de barrio? Tal vez no. ¿Y si el mapa es degenerado, y la imagen en el dominio de la pelota es simplemente un punto o una línea en $A$-espacio?

Una forma de evitar esto es utilizar la derivada: si el mapa de $(B, C)$ $BC$tenía rango completo de derivados, que en algunas pequeñas suficiente barrio, sería un homeomorphism en la imagen de este barrio (o algo así, nunca puedo recordar exactamente declaración del teorema de la función inversa, o teoremas sobre la invariancia de dominio, etc.)

El problema es que la derivada de $(B, C) \mapsto BC$ con respecto al $C$, se parece a la multiplicación por $B$ (después de todo: $C \mapsto BC$ es lineal en el mapa!). Si $B$ rango $1$, entonces el rango de este derivado mapa es mucho menor de lo que se necesita para hacer el completo rango argumento que he propuesto.

Por tanto, me gustaría ver de cerca el caso $$ B = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, C = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\\ A = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$ y a ver qué pasa cuando se perturba algo así como el $(2,3)$ elemento $A$.

En efecto, llamando a la multiplicación de la función $f$, tenemos $$ f(B + B', C + C') = BC + b'C + BC' + b'C' $$ así que $$ df(B', C') = b'C + BC' $$ que (para el $B$ $C$ anterior) tiene la forma $$ \begin{bmatrix} * & * & * \\ * & 0 & 0 \\ * & 0 & 0 \end{bmatrix} $$ así que a la primera orden, al menos, el $(2,3)$ elementos del producto no cambia.

Pero, de nuevo, el dominio de aquí tiene dimensión $9 + 9$, y el codominio tiene dimensión $9$, así que tal vez mirando de primer orden sólo no es suficiente...