Un problema sobre mollification

Question

El problema es :

Dado $M > 0$ una constante, muestran que existe $\phi \in C^{\infty}(R)$ con las siguientes propiedades:

i) $\phi(x) = x , \forall x \in [-M,M] $

ii) $ 0 \leq\varphi^{'}(x) \leq 1, \forall \ x $

Esta pregunta surge de forma que mi pregunta en el enlace

En el enlace anterior el usuario 79635 dice : deje $M$ ser una constante , mollifing la función de $f(x) = \min ( \max (x, M+1), -M-1 )$ , se puede obtener una función de $\phi$ con las propiedades que se dijo anteriormente.

Estoy tratando de hacer el mollifcation, pero no llego a ninguna parte. Alguien me puede dar una mano ?

Gracias de antemano.

Answer 1

Corregir algunos $\epsilon>0$ y para definir $x\in\mathbb{R}$: $h_1(x)=x$, $h_2(x)=M+\epsilon$ y $h_3(x)=-M-\epsilon$. Vamos $U_1=(-\epsilon-M,M+\epsilon)$, $U_2=(M,\infty)$ y $U_3=(-\infty,-M)$.

Deje $\{\phi_i,U_i\}_{i=1}^3$ ser una partición de la unidad asociada con $U_i$, es decir,

I - $\phi_i\in C^{\infty}(\mathbb{R})$,

II - $\operatorname{spt}\phi_i\subset U_i$ $\sum_{i=1}^3\phi_i=1$

Para definir $x\in\mathbb{R}$ $$h(x)=\phi_1h_1+\phi_2h_2+\phi_3h_3$$

Tenga en cuenta que $h$ es la función deseada.

Nota: Para hacer las cosas más claras, tenga en cuenta que es posible elegir $\phi_i$ de tal manera que $\phi_1$ $\phi_3$ son estrictamente decreciente en a $(M,M+\epsilon)$ $(-\epsilon-M,-M)$ respectivamente y $\phi_1$ $\phi_2$ son estrictamente creciente en a $(-\epsilon-M,-M)$ $(M,M+\epsilon)$ respectivamente.