Estrategias para encontrar el conjunto de funciones de $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que satisfacen un determinado funcional de la ecuación

Question

Mi pregunta es la siguiente: ¿Qué métodos se pueden utilizar para encontrar el conjunto de funciones de $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ en la satisfacción de un cierto funcional de la ecuación. Un ejemplo de un caso donde esto se aplica es la siguiente:

Encontrar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que satisfacen la siguiente ecuación: $$f(x^{3})+f(y^{3})=(x+y)(f(x^{2})+f(y^{2})-f(xy)):\forall x, y\in\mathbb{R}$$

Soy curioso en cuanto a si existen métodos generales (o estrategias) para resolver este tipo de pregunta, o si preguntas como estas sólo debe ser manejado en un caso-por-caso.

Gracias de antemano.

Answer 1

Aquí es un comienzo típico. Poner $x=y=0$. El lado derecho es $0$, lo $f(0)=0$.

Ahora establezca $y=0$, y deje $x$ vagar libremente. Desde $f(0)=0$, obtenemos $f(x^3)=xf(x^2)$.

Set $y=-x$. Llegamos $f(x^3)+f(-x^3)=0$. Ya que todo es un cubo, tenemos $f(-u)=-f(u)$ todos los $u$.

Ahora explorar $x=y$. Podemos aprender algo de la configuración de $x$ y/o $y$ qual a $1$?

Un poco de juego nos ha traído una gran cantidad de información, suficiente para que ya debería ser capaz de completar las cosas.

Answer 2

El uso de la ecuación, podemos ver que $f(0) = 0$ es necesario. Deje $y = -x$, luego \begin{gather} f(x^3) + f(-x^3) = 0 \end{reunir} Esto implica que $f$ debe ser una función impar. También dejando $y = x$ vemos que \begin{equation} f(x^3) = x f(x^2) \end{equation} Conectar esta relación en el LHS da \begin{align} xf(x^2) + yf(y^2) & = (x + y)(f(x^2) + f(y^2) - f(xy)) \\ 0 & = x f(y^2) + y f(x^2) - (x+y)f(xy) \tag{*} \end{align} Si dejamos $y \to -y$, a continuación, por la simetría de la función que le hemos \begin{align} 0 = xf(y^2) - yf(x^2) + (x-y)f(xy) \tag{**} \end{align} La adición de $(^*)$ $(^{**})$ vemos que \begin{equation} x f(y^2) = y f(xy) \end{equation} Si dejamos $y = 1$ obtenemos \begin{equation} f(x) = x f(1) \end{equation}

EDITAR: En este punto debemos comprobar si esta función, de hecho satisface la anterior relación. Dejando $f(1) = c$, y de conectar hemos \begin{equation} c(x^3 + y^3) = c(x+y)(x^2 + y^2 - xy) = c(x^3 + xy^2 -x^2 y + x^2 y + y^3 - xy^2) = c(x^3 + y^3) \end{equation}

Answer 3

Si es de ayuda el único continua de las soluciones son de la forma $f(x)=xf(1)$. De hecho, podemos utilizar la propiedad $f(x^3)=xf(x^2)$ $$f(x)=x^\frac{1}{3}f(x^\frac{2}{3})=x^\frac{1}{3}x^\frac{2}{9}f(x^\frac{4}{9})=\cdots=x^{\frac13\sum_i(\frac23)^i}f(1)=xf(1).$$ De hecho, sólo necesitamos la continuidad en $1$.