Determinar el vector propio y el espacio propio y la base del espacio propio

Question

La zona marcada en amarillo es correcta, así que no compruebes la exactitud :)

$A=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\ 4 & 4 & 0\\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ es la matriz.

El polinomio característico es $-\lambda^{3}+6\lambda^{2}-12\lambda+8=0$

El (triple) valor propio es $\lambda=2$ .

Calcula ahora los vectores propios:

$\begin{pmatrix} -2 & -1 & 0\\ 4 & 2 & 0\\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$

Obtenemos las ecuaciones:

$I: -2x-y=0 \Leftrightarrow y = -2x$

$II: 4x+2y=0$

$III: 2x+y=0 \Leftrightarrow 2x-2x=0 \Leftrightarrow 0=0$

Vemos que en cada eecuación $z$ es desconocido, por lo que podemos elegir un $z$ .

$x\begin{pmatrix} 1\\ -2\\ z \end{pmatrix}$ ¿y este es el eigespacio...?

¿Y cuál es la base de este eigespacio? ¿Puedo simplemente establecer $x=1$ y algún valor para $z$ ? Así que esta sería una base correcta del eigespacio: $\begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 3 \end{pmatrix}$ ?

Ahora necesitamos tres vectores propios linealmente independientes pero no he podido encontrarlos ya que siempre he obtenido vectores linealmente dependientes...

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Necesito una respuesta detallada y no muy complicada que lo explique bien y le daré a esa respuesta una buena recompensa (hasta 200 rep) porque no he podido encontrar otro sitio que me explique esto correctamente y me hace mucha falta.

Answer 1

Le site $x$ no debe estar fuera del vector. La solución a las ecuaciones I,II y III es

\begin{pmatrix} x\\ -2x\\ z \end{pmatrix}

donde $x$ y $z$ son arbitrarios. Todo vector de esta forma es un vector propio para $A$ . Se puede escribir cada uno de estos vectores como una combinación lineal de dos vectores $e_1$ y $e_2$ definido por

$$e_1:= \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$$ y $$e_2:= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.$$

Más concretamente, tenemos $$ \begin{pmatrix} x \\ -2x \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ -2x \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ z \end{pmatrix} = x\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} + z\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = xe_1 + ze_2$$

Una base para el eigespacio son los dos vectores $e_1$ y $e_2$ ya que cada vector del eigespacio puede escribirse de forma única como una combinación lineal de esos dos vectores.

No hay razón para que tenga 3 vectores propios linealmente independientes.

Answer 2

Debe resolver $(A - 2I)\vec{x} = \vec{0}$ es decir $$ \begin{pmatrix} -2 & -1 & 0\\ 4 & 2 & 0\\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\end{pmatrix} $$ Obsérvese que todas las ecuaciones son múltiples entre sí, así que dejemos la última para usarla y eliminemos todas las demás. Se obtiene la restricción $2x+y = 0$ . Así que sus soluciones tendrán que tener $y = -2x$ En otras palabras, $$ \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\\ -2x\\ z\end{pmatrix} = x \begin{pmatrix}1\\ -2\\ 0\end{pmatrix} + z \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix} $$ y así se ve que hay 2 vectores propios que se pueden usar como base.

En cuanto a que el número de vectores propios independientes en la base no sea igual a la multiplicidad de la raíz de la ecuación característica, esto tiene que ver con que para tu matriz, las multiplicidades geométricas y algebraicas no coinciden para el valor propio $\lambda = 2$ . Puede leer más al respecto aquí .

Answer 3

De su cálculo se desprende que todos los vectores propios son de la forma $\begin{pmatrix} x\\ -2x\\ z \end{pmatrix} = x\begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 0 \end{pmatrix} + z\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$

Answer 4

Si $\lambda$ es un valor propio de $A$ entonces sus correspondientes vectores propios son los vectores $\mathbf v$ que satisfagan $A\mathbf v=\lambda\mathbf v$ o $(A-\lambda I)\mathbf v=0$ . Es decir, el eigespacio de $\lambda$ es el espacio nulo de la matriz $A-\lambda I$ . Esta respuesta describe cómo leer una base para el espacio nulo directamente desde la forma escalonada reducida de la matriz. Recordemos que la dimensión del espacio nulo -el geométrico multiplicidad de $\lambda$ -será como máximo la multiplicidad algebraica de $\lambda$ que es 3 en este caso, pero podría ser menos que eso.