Creo que la función de Weierstrass es un contraejemplo.
También, considere el siguiente ejemplo:
Deje $f:[0, \frac{1}{12}] \rightarrow {\mathbb R}$ se definen de la siguiente manera:
$f(0.a_1a_2\ldots a_n\ldots)=0.b_1b_2b_3\ldots b_n\ldots$
donde $b_i=0$ si $a_i=a_{i+1}$ $b_i=1$ lo contrario.
A continuación, para cada una de las $x$ y cada una de las $\epsilon_1, \epsilon_2 >0$ es fácil encontrar una $y$, de modo que $0< |x-y| < \epsilon_1$$|f(x)-f(y)|<\epsilon_2$.
Esto demuestra que $f$ no está aumentando y que el límite es de $\geq 0$.
P. S. Este es realmente el primer ejemplo de continua no derivable la función del vi.
Editado: El siguiente ejemplo es en realidad más fácil trabajar con:
Si cambiamos un poco la función, es decir $b_i=0$ si $a_i-a_{i+1}\in \{0, \pm 1 , \pm 9\}$ $b_i=1$ de lo contrario es fácil demostrar que para cada una de las $x$ y cada una de las $\epsilon>0$ la que podemos encontrar un $y$, de modo que $0< |x-y| < \epsilon$$f(x)=f(y)$.
Este simple hecho se asegura que la función es un contraejemplo.
Añadido Aquí están los trabajado detalles, cambiar un poco más la función para hacer que todo funcione smootly:
Considere el siguiente ejemplo:
Deje $f:[0, \frac{1}{2}] \rightarrow {\mathbb R}$ se definen de la siguiente manera:
$f(0.a_1a_2\ldots a_n\ldots)=0.b_1b_2b_3\ldots b_n\ldots$
donde $b_i=0$ si $a_{2i-1}-a_{2i} \in \{0, \pm 1 , \pm 9\}$ $b_i=1$ lo contrario.
Para poner las cosas en claro, cada vez que un número $x$ tiene dos decimales representaciones utilizamos el$.a_1a_2\ldots a_n0000.000\ldots$.
Se demuestra que para cada una de las $x \in [0, \frac{1}{2}]$ y cada una de las $\epsilon >0$ podemos encontrar una $y$, de modo que $0< |x-y| < \epsilon$$f(x)=f(y)$.
Escoge un $m$, de modo que $\frac{1}{10^{2m}} < \epsilon$.
Deje $x=.a_1a_2\ldots a_n\ldots$.
Definimos $y=.a_1a_2\ldots a_{2m}ba_{2m+2}\ldots$ donde
$$b=\begin{cases}
a_{2m+2} & \text{if %#%#%} \\
1 & \text{if %#%#%} \\
a_{2m+1}-1 & \text{if %#%#%} \\
a_{2m+1}+2 & \text{if %#%#% and %#%#%} \\
a_{2m+1}-2 & \text{otherwise}
\end{casos} $$
Solo cambiamos $a_{2m+1}-a_{2m+2} \in \{\pm 1 , \pm 9\}$ $a_{2m+1}=a_{2m+2}=0$ posición no importa lo $a_{2m+1}=a_{2m+2} \neq 0$ tenemos al menos una opción de la izquierda para $a_{2m+1} \in \{0,1\}$ para producir el mismo valor de la función.
Entonces $a_{2m+1}-a_{2m+2} \notin \{0, \pm 1 , \pm 9\}$, $x$ y $2m+1$. Esto muestra que las funciones no está aumentando y que
$a_{2m+1}, a_{2m+2}$$
