Explicar por qué un conjunto de condiciones mutuamente ortogonal de vectores no nulos es linealmente independiente dado una cláusula

Question

"Dado $\vec{u}_1,\ldots ,\vec{u}_n$ mutuamente ortogonal de vectores no nulos, explicar por qué para $\vec{v}=c_1\vec{u}_1+\ldots +c_n\vec{u}_n$ $c_k=\frac{\vec{v} \cdot \vec{u}_k}{\vec{u}_k \cdot \vec{u}_k}$"

Esto me explica por que salpican ambos lados con $\vec{u}_k$ y simplificar todo. Sin embargo, la pregunta que tengo ahora es, cómo el uso de este resultado obtenido, puedo demostrar que $\vec{u}_1,\ldots ,\vec{u}_n$ son linealmente independientes? Yo estaba pensando en decir que en conformidad a $c_k=\frac{\vec{v} \cdot \vec{u}_k}{\vec{u}_k \cdot \vec{u}_k}$, cada coeficiente sólo pueden ser de un valor fijo, por lo que no hay espacio para cambiar de uno a expensas de la otra (como uno podría con coeficientes de vectores linealmente dependiente), pero no estoy seguro de si esto es correcto, y si estoy fraseo esto correctamente. Gracias por su ayuda!

Answer 1

Para mostrar que son linealmente independientes, se desea mostrar que cualquier combinación lineal igual a cero es el trivial de la combinación lineal. Así, supongamos que usted tiene una combinación lineal $$\alpha_1\mathbf{u}_1 + \cdots + \alpha_n\mathbf{u}_n = \mathbf{0}.$$ Ahora, usando la fórmula que tienes, toma de $\mathbf{v}=\mathbf{0}$, le dará el valor de cada una de las $\alpha_i$, a saber: $$\alpha_i = \frac{\mathbf{0}\cdot\mathbf{u}_i}{\mathbf{u}_i\cdot\mathbf{u}_i}.$$ ¿Qué dice usted acerca de $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$?