Integral por los $u$de sustitución de

Question

Ecuación Original $$\int\sqrt{e^t-5}dt \qquad u=\sqrt{e^t-5}$$ Esto es lo que he hecho hasta ahora$$\int{u}dt$$ $$du=\frac{e^t}{2\sqrt{e^t-5}}dt$$$$dt=\frac{2\sqrt{e^t-5}}{e^t}du$$$$\int{u}{\frac{2\sqrt{e^t-5}}{e^t}}du$$ a partir De este punto en lo que tengo que hacer?

Answer 1

Intenta hacer una sustitución de la dentro de la función, que a menudo funciona mejor. En este caso, para la ecuación $$\int\sqrt{e^t-5}dt$$ hacer la sustitución $u=e^t$, $\,\,du = e^tdt$ $$=\int\frac{\sqrt{u-5}}{u}du$$ sustituto $s = \sqrt{u-5}$, $\,\,ds = \frac{1}{2\sqrt{u-5}}$ $$=2\int\frac{s^2}{s^2 + 5}ds$$ $$=2\int\ \bigg(1-\frac{5}{s^2 + 5}\bigg)ds$$ $$=2\int1\,ds - 10\int \frac{ds}{s^2 + 5}$$ $$=2s - 2\int \frac{ds}{\frac{s^2}{5} + 1}$$ sustituto $p = \frac{s}{\sqrt{5}}$, $\,\,dp = \frac{ds}{\sqrt{5}}$ $$=2s - 2\sqrt{5}\int \frac{dp}{p^2 + 1}$$ $$=2s - 2\sqrt{5}\tan^{-1}(p)$$ Después de un par de back-subtitutions tenemos $$=2\sqrt{e^t - 5} - 2\sqrt{5}\tan^{-1}\bigg(\frac{\sqrt{e^t - 5}}{\sqrt{5}}\bigg) + C$$ Me gusta resolver el problema de esta manera, como se siente más lineal... en Lugar de tratando de encontrar qué truco para utilizar el usted acaba de seguir jugando con la integral, lo que es más sencillo hasta que te das cuenta de que son ya sea cerca o en un formulario que usted puede integrar fácilmente.

Answer 2

Aviso, vamos a $e^t-5=u^2\implies e^tdt=2udu$ $$dx=\frac{2udu}{u^2+5}$$ $$\int\sqrt{e^t-5}dt=\int u\frac{2udu}{u^2+5}$$ $$=2\int \frac{u^2du}{u^2+5}$$ $$=2\int \frac{u^2+5-5du}{u^2+5}$$ $$=2\int \frac{u^2+5du}{u^2+5}-10\int \frac{du}{u^2+5}$$ $$=2\int du-10\int \frac{du}{u^2+5}$$ $$=2u-10\frac{1}{\sqrt 5}\tan^{-1}\left(\frac{u}{\sqrt 5}\right)+C$$ $$=2\sqrt{e^t-5}-2\sqrt 5\tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{e^t-5}{5}}\right)+C$$

Answer 3

Tenga en cuenta que formalmente hemos $u = \sqrt{e^{t}-5}$ fib $\log(u^{2}+5) = t$, así $$ \int_{t} \sqrt{e^{t}-5} = \int_{u = \sqrt{e^{t}-5}}u \cdot D\log(u^{2}+5) = \int_{u} \frac{2u^{2}}{u^{2}+5}. $$ Puede usted continuar?