De referencia para $(\infty,1)$-Categorías

Question

Estoy buscando un trabajo organizado de la fuente de la que puedo aprender acerca de $(\infty,1)$-categorías. Yo soy incapaz de aprender el concepto de la $n$laboratorio solo. Aquí se dice que Lurie llama $(\infty,1)$-categorías sólo $\infty$-categorías, lo que hace que me pregunte si este artículo por él se dirige a lo que el $n$lab llama a $(\infty,1)$-categorías.

Idealmente, la fuente podría confiar en que tan poco conocimiento previo de lo posible, en particular, en el ámbito de la enriquecido categorías. Organizado definiciones son cruciales.

Answer 1

En efecto, la frase "$(\infty, 1)$-categoría" es un cover plazo para una familia de conceptos relacionados que están muy estrechamente relacionados.

• Quasicategories son ciertas especial simplicial conjuntos. La teoría ha sido ampliamente desarrollado por Joyal y Lurie, y [Más topos teoría] cubre mucho terreno. Como nota, Lurie simplemente llama a estas "$\infty$-categorías".
• Simplicially enriquecido categorías (o simplicial categorías para abreviar) son categorías equipadas con algo más de estructura. Ellos son concretos y fáciles de entender conceptualmente, pero no es tan fácil en la práctica. Desafortunadamente, no hay ninguna referencia a la mano para simplicially enriquecido categorías.
• Completa Segal espacios son ciertas especial bisimplicial conjuntos. La definición (debido a Rezk) es muy elegante, al menos, una vez que lo entienda. De todas las nociones que menciono aquí, este tiene la mejor "oportunidad" de ser internalizado en homotopy tipo de teoría.
• Segal categorías son una especie de híbrido entre simplicially enriquecido categorías y completa Segal espacios. La teoría general (que abarca $(\infty, n)$-categorías para $0 < n < \infty$) es desarrollado en [Homotopy teoría de categorías superiores].

En cada caso será necesario conocer algunos conceptos básicos de la topología algebraica, al menos, las nociones de homotopy, débil homotopy de equivalencia, y CW – complejos y es muy útil para también aprender un poco enriquecido categoría de la teoría de la primera. Por supuesto, si usted quiere entender ejemplos reales de $(\infty, 1)$-categorías, que se necesita saber un poco más de topología algebraica o álgebra homológica.

Answer 2

Una buena referencia introductoria que explica la relación entre los cuatro modelos mencionados por Zhen Lin es la encuesta de papel

• Julia Bergner, Una encuesta de (infinity,1)-categorías, en J. Báez y J. P. de Mayo, Hacia las Categorías Superiores, IMA Volúmenes en Matemáticas y Sus Aplicaciones, Springer, 2010, 69-83, pdf.

Una buena idea sería la primera en estudiar enriquecido categoría de teoría, como se sugiere por Zhen Lin, así como a la teoría de categorías de modelo (por ejemplo, Quillen o Hovey). Entonces será posible hacer sentido de los cuatro modelos mencionados en la encuesta. Me gustaría empezar por el estudio de simplicial categorías y, a continuación, pasar a uno de los otros modelos. Dependiendo de sus aplicaciones, cuasi-categorías son, probablemente, el más importante modelo; para que, ver, por ejemplo, Cisinski notas aquí o Joyal notas aquí.

Alternativamente, usted puede leer Emily Riehl del libro, disponible aquí, que le da un relato coherente de todo lo anterior, desde enriquecido categorías y categorías de modelo de cuasi-categorías.

Answer 3

Puedo recomendar la siguiente introducción:

Moritz Groth, Un curso corto en el infinito-categorías, http://arxiv.org/abs/1007.2925