¿Cómo se define la frecuencia de resonancia de un oscilador con amortiguación forzada?

Question

Consideremos un oscilador armónico forzado y amortiguado

$$\ddot{\phi} + 2\beta \dot{\phi} + \omega_0^2 \phi = j(t) \, .\tag{1}$$

Si elijo una fuerza motriz sinusoidal $j(t) = A \cos(\Omega t)$ Me parece que

$$\phi(t) = \text{Re} \left[ e^{-i \Omega t} \frac{-A}{\Omega^2 - \omega_0^2 + 2i\beta \Omega} \right] \, .\tag{2}$$

A partir de aquí, ¿cómo puedo definir el "resonancia" ? ¿Es el punto en el que $\langle \phi(t)^2 \rangle$ se maximiza?

Cosas que sí sé: La frecuencia con la que $\langle \phi(t)^2 \rangle$ se maximiza es $$\omega_r ~:=~ \omega_0 \sqrt{1 - 2(\beta/\omega_0)^2},\tag{3}$$ pero me pareció leer/escuchar que la frecuencia de resonancia de un oscilador amortiguado es sólo $\omega_0$ .

También he calculado que la frecuencia de oscilación libre es $$\omega_{\text{free}} ~:=~ \omega_0 \sqrt{1 - (\beta / \omega_0)^2},\tag{4}$$ pero no creo que sea lo mismo que la frecuencia de resonancia en conducción constante.

Answer 1

A partir de aquí, ¿cómo definir la "resonancia"?

En la resonancia, el flujo de energía de la fuente motriz es unidireccional, es decir, el sistema absorbe energía durante todo el ciclo.

Cuando $\Omega = \omega_0$ tenemos

$$\phi(t) = \frac{A}{2\beta \omega_0}\sin\omega_0 t$$

así

$$\dot \phi(t) = \frac{A}{2\beta}\cos\omega_0 t$$

El poder $P$ por unidad de masa entregada por la fuerza motriz es entonces

$$\frac{P}{m} = j(t) \cdot \dot \phi(t) = \frac{A^2}{2\beta}\cos^2\omega_0 t = \frac{A^2}{4\beta}\left[1 + \cos 2\omega_0 t \right] \ge 0$$

Cuando $\Omega \ne \omega_0$ la potencia será negativa durante una parte del ciclo cuando el sistema trabaje en la fuente.

Lo que has etiquetado como $\omega_r$ es el frecuencia de resonancia amortiguada o frecuencia de pico de resonancia .

Sin calificar, el término frecuencia de resonancia suele referirse a $\omega_0$ El frecuencia de resonancia no amortiguada o frecuencia natural no amortiguada .

Answer 2

La confusión puede surgir porque el uso de la palabra resonancia suele ser diferente entre los sistemas mecánicos y los eléctricos.

En el caso de los sistemas mecánicos, a menudo se considera la resonancia de desplazamiento y la frecuencia de resonancia de desplazamiento disminuye a medida que aumenta la cantidad de amortiguación.
Esta es la dependencia de la frecuencia indicada en su ecuación (3).

Cuando se trata de sistemas eléctricos, por ejemplo un circuito LCR en serie, el parámetro que se suele medir es la corriente y la frecuencia a la que se produce la resonancia de la corriente es la frecuencia natural de las oscilaciones no amortiguadas del sistema $\omega_0$ y como tal la frecuencia para la resonancia actual no varía con la amortiguación.

Para un sistema mecánico la resonancia de corriente es la resonancia de velocidad y potencia y para un sistema eléctrico en serie LCR la resonancia de desplazamiento es la resonancia de carga.

En los cursos de ciencia e ingeniería en los que se discuten por primera vez las oscilaciones forzadas mecánicas y eléctricas se favorece la resonancia de desplazamiento para algunos sistemas mecánicos porque es más fácil medir una distancia que una velocidad y la resonancia de corriente se favorece para algunos sistemas eléctricos porque es más fácil medir una corriente que una carga.