Puede que el producto de dos no-cero simétrica matrices de ser anti-simétrica?

Question

Estoy tratando de encontrar un ejemplo para mostrar que el producto de dos no-cero simétrica de las matrices puede ser anti-simétrica.

He comprobado que esto es imposible para matrices de 2x2.

Para las matrices 3x3, he formulado un conjunto de ecuaciones lineales en 12 variables y utiliza MATLAB para intentar buscar una solución, pero en vano.

Así que, es posible, y si es así, ¿cuál es el mejor método a utilizar para formular un ejemplo? Si no, ¿cuál es la mejor manera de demostrar que es imposible para matrices de tamaño n (n arbitraria número natural)?

Con muy muchas gracias,

Froskoy.

Answer 1

Por supuesto, no es posible en la dimensión $1$. Si la dimensión $d$ es mayor que $2$, luego deje $A=(a_{lr})_{1\leq l,r\leq d}$$B=(b_{lr})_{1\leq l,r\leq d}$, con $a_{1,1}=1$, $b_{2,2}=0$ y todas las demás entradas se $0$. A continuación, $A$ $B$ no son cero, simétrica y $AB=0$, que es sesgar-simétrica.

Answer 2

Esta no es una respuesta, sólo una observación. Las Matrices son todos los reales.

Usted puede demostrar que si $A$ es simétrica definida positiva y $B$ es cualquier matriz simétrica, entonces $AB$ es diagonalizable ( $\mathbb{R}$ ) y por lo tanto sólo puede sesgar-simétrica $B=0$, debido a que el único sesgo de simetría de la matriz que es diagonalisable ( $\mathbb{R}$ ) es el $0$ matriz. Me pregunto ¿qué pasa si $A$ es asumido invertible, pero no de señal definitiva...

Answer 3

Digamos que tienes dos matrices simétricas, $A$$B$; En orden para que su producto anti-simétrica, yo.e, para $(AB)=-(AB)^T$, $AB=-BA$, es decir, que anti-commute.