El orden de las órbitas de la acción de un p-subgrupo del conjunto de la izquierda cosets de Sylow p-subgrupo

Question

Si $H$ $p$- subgrupo de $G$ con el fin de $p^{a}$ $K$ es un Sylow $p$-subgrupo de $G$ con el fin de $p^{b}$. $X$ es el conjunto de la izquierda coset de $K$.

Deje $H$ actúa en $X$, ¿cuál es el orden de las órbitas? Tengo la sensación de que se podría estar relacionado con el primer $p$. Pero no sé cómo conseguir que.

(Estoy tratando de usar este resultado para establecer que $H$ está contenido en $K$. )

Gracias!

Answer 1

Si quieres demostrar que $H \leq K$, se necesita una condición adicional. Aquí está la declaración general:

Deje $G$ ser un grupo finito, $K\leq G$ $p$- subgrupo de Sylow, y $H\leq G$ $p$- grupo. Si $KH=HK$$H \leq K$.

La prueba es como sigue:

De $KH=HK$ se sigue que $HK$ es un subgrupo y, por tanto,$|HK|=\frac{|H||K|}{|H \cap K|}$. El orden de $HK$ es una potencia de $p$, la orden de $K$ es la máxima potencia de $p$ (ya que es un subgrupo de Sylow). Desde $K\leq HK$, $|K|=|HK|$. Por lo tanto $\frac{|H|}{|H \cap K|}=1$$|H \cap K|=|H|$. Por lo tanto (desde $H\cap K \leq H$) tenemos a $H \leq K$.