Un problema de teoría de la medida: si $\int_{A_n}f(x)dx\rightarrow0 $ entonces $\lambda(A_n)\rightarrow0$

Question

Esta pregunta se propuso como parte de una prueba para los aspirantes al doctorado, pero se consideró demasiado difícil y se rechazó. Intenté infructuosamente resolverla durante bastante tiempo. Para quien quiera probar suerte

Dejemos que $f:[0,1]\rightarrow \Bbb{R}$ sea una función medible y estrictamente positiva en casi todas partes. También dejemos que $(A_n)$ sea una secuencia de subconjuntos contables de $[0,1]$ tal que para $n\rightarrow\infty$ tenemos $$\int_{A_n}f(x)dx\rightarrow0 $$

Demuestre que para $n\rightarrow\infty$ también tenemos $$\lambda(A_n)\rightarrow0$$

Answer 1

Fijar $\epsilon > 0$ . Para cada $k \in \mathbb N$ definir $E_k = \{x : f(x) > 1/k\}$ . Entonces $E_1 \subset E_2 \subset \cdots$ y la unión de los $E_k$ es todo el intervalo $[0,1]$ . Así, $\lambda(E_k) \to \lambda([0,1])$ por lo que existe un índice $k$ Satisfaciendo a $\lambda(E_k) > 1 - \epsilon$ y por lo tanto $\lambda([0,1] \setminus E_k) < \epsilon$ .

Para cualquier índice $n$ se obtiene $$\lambda (A_n) = \lambda(A_n \cap E_k) + \lambda(A_n \setminus E_k)$$ donde $$\lambda(A_n \cap E_k) = \int_{A_n \cap E_k} \, dx \le k \int_{A_n} f(x) \, dx$$ y $$ \lambda(A_n \setminus E_k) \le \lambda([0,1] \setminus E_k) < \epsilon.$$ Desde $\displaystyle \int_{A_n} f(x) \, dx \to 0$ se obtiene $\limsup \lambda(A_n) \le \epsilon.$ Desde $\epsilon > 0$ es arbitrario se obtiene $\lambda(A_n) \to 0.$