Inversa de a $f(x) = xe^x-x$

Question

Me pregunto si hay una manera de obtener la inversa de la función de $y=xe^x-x$. Soy consciente de que el uso de la función W de Lambert en la inversa de a$xe^x$, pero como se puede ver este es un animal diferente por completo. He trazado la función y a la inversa se ve cerca de la función W.

Esto está relacionado con un problema en el que estoy trabajando en lo que necesito para encontrar la densidad de la variable aleatoria $Y=Xe^X-X$, donde sé que la densidad de X. soy consciente de que esta función no es uno a uno. Para mis propósitos, podemos restringir a $x>0$. Cualquier ayuda sería muy apreciada!!

Answer 1

Esta ecuación puede ser colocado en la forma:

$$e^x=\frac{x+f}{x}$$

Sabemos que la mezcla de exponenciales/bilineal ecuaciones puede ser resuelto por la extendida Lambert función de $W_r(x)$, la cual puede ser representada por la siguiente Lagrange inversor de la serie:

$$z(A,t,s)=t- (t-s) \sum_{n=1} \frac{L_n' (n(t-s))}{n} e^{-nt} A^n$$

que es la solución de:

$$e^z=A\frac{z-t}{z-s}$$

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Es posible resolver esta ecuación usando la función de lambert

Referencias

En la generalización de los Lambert $W$ función con aplicaciones en física teórica, http://arxiv.org/abs/1408.3999

[68] C. E. Siewert y E. E. Burniston, "Soluciones de la Ecuación de $ze^z=a(z+b)$", Revista de Análisis Matemático y Aplicaciones, 46 (1974) 329-337. http://www4.ncsu.edu/~ces/pdfversions/68.pdf