Cierre con respecto a una cubierta abierta

Question

Esto es algo que surgió cuando estudiaba otra cosa, pero me pregunto si el siguiente hecho topológico es cierto.

Deje que $X$ ser un espacio topológico, y $\{U_i\}_{i=1}^n$ una cubierta abierta finita de $X$ . Deje que $A \subseteq X$ ser un subconjunto tal que $A \cap U_i$ está cerrado en $U_i$ para todos $i$ . Luego $A$ está cerrado en $X$ .

(Si esto resulta ser falso, ¿hay un contraejemplo tal que cada $U_i$ es también denso en $X$ ?)

Probablemente hay algo simple que estoy pasando por alto, así que cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Parece que tienes razón y $X \backslash A= \bigcup U_i \backslash A= \bigcup U_i \backslash (U_i \cap A)$ está abierto como una unión de conjuntos abiertos.

Answer 2

Tengan en cuenta que $A \cap U_i=U_i \cap C_i$ para $C_i$ encerrado $X$ . Luego $$ \begin {align} A &= (A \cap U_1) \cup\dotsb\cup (A \cap U_n) \\ &= (U_1 \cap C_1) \cup\dotsb\cup (U_n \cap C_n) \\ &= (U_1 \cup\dotsb\cup U_n) \cap (C_1 \cup\dotsb\cup C_n) \\ &= X \cap (C_1 \cup\dotsb\cup C_n) \\ &= C_1 \cup\dotsb\cup C_n \end {align} $$ así que $A$ está cerrado.