encontrando el resto de$x^{100}-2x^{51}+1$

Question

Nunca he sido genial con los polinomios. Aquí está mi problema.

Encuentra el resto de$f(x)=x^{100}-2x^{51}+1$ cuando$f$ se divide por$x^2-1$

Esto suena fácil ¿verdad? ¿Por qué no puedo resolverlo? Mi pensamiento fue intentar crearlo de tal manera que$f(x)=q(x)g(x)+r(x)$. Pero no puedo pasar de obtener$deg[r(x)]<deg[g(x)].$

$$f(x)=x^{100}-2x^{51}+1$ $$$=x^{100}-x^{51}-x^{51}+x^2-x^2+1$ $$$=x^{51}(x^{49}-1)-x^2(x^{49}-1)-x^2+1$ $$$=(x^{51}-x^2)(x^{49}-1)-x^2+1$ $$$=x^2(x^{49}-1)(x^{49}-1)-x^2+1$ $$$=x^2[(x^{49}-1)^2-1]+1=?.......$ $ No veo lo que me estoy perdiendo

Answer 1

Este es el enfoque estándar, especialmente si conoce las raíces del divisor.

Deje que$f(x) = x^{100} - 2x^{51} + 1$, y$f(x) = g(x) (x^2-1) + ax + b$ sean la división

Entonces, $0 = f(1) = g(1) ( 1^2 - 1) + a (1) + b = a + b$,
y$4 = f(-1) =g(-1) ( (-1)^2 -1) + a(-1) + b = -a + b$.

Por lo tanto,$a= -2, b = 2$.

Por lo tanto, el resto es$-2x+2$.

Answer 2

Sugerencia $\ \, $ Interpolar el resto$\rm\:r(x)\:$ en las raíces$\rm\:\color{#c00}{x = \pm1},\: $ donde $ \ rm \ r (\ pm1) \, = \, f (\ pm1) $

PS

Observar $$\qquad\ \ \begin{eqnarray} &&\rm\ \ r(x) &=\,&\rm f(x) - (\color{#c00}{x^2\!-\!1})\, q(x),\ \ \ deg\ r < 2\\ \\\Rightarrow\, &&\rm 2\, r(x) &=\,&\rm f(1)\, (x\!+\!1) - f(-1)\, (x\!-\!1)\end{eqnarray}$ O, de manera equivalente, usar el resto chino (CRT) para resolver

PS

Generalmente, como aquí, la interpolación de Lagrange es un caso especial de CRT.