Si , Entonces

Question

Deje que$f(x)$ sea monótono aumentando en$[0,1]$ y tal que$f(0)=2,f(1)=3$, y para cualquier$x_{1},x_{2},x_{1}+x_{2}\in[0,1]$:$$f(x_{1}+x_{2})+2\ge f(x_{1})+f(x_{2})$ $

Pregunta: entre$\displaystyle f \left (\frac{1}{2^x} \right)$ y$\displaystyle\frac{1}{2^x}+2,\forall x>0,x\in \mathbb{R}$, ¿cuál es más grande?

Mi idea: dejar que$$F(x)=f(x)-2$ $ luego$$F(0)=0,F(1)=1,F(x_{1}+x_{2})\ge F(x_{1})+F(x_{2}),\forall x_{1},x_{2},x_{1}+x_{2}\in[0,1]$ $

El problema es que$x$ es un número real, no un entero.

Answer 1

Se fueron en la dirección correcta. Tenga en cuenta que $F(2t)\ge 2F(t)$ todos los $t$ tal que $2t\le1$. De ello se sigue que $$F(2^mt)\ge 2^mF(t)\quad\text{ for }m\in \Bbb N$$ o que $$F(\frac1{2^m})\le \frac{F(1)}{2^m}=\frac1{2^m}.$$ Ahora para cualquier $t\in(0,1)$, el uso de la disminución de expansión diádica de $t$ y la monotonía de $F$ a concluir.

Edit: se Nota que aún debemos aplicar la superadditivity de $F$.

Edit 2: Hay un error en mi argumento (y, por supuesto, es el último paso). Solo voy a salir de aquí y tratar de arreglarlo después.

Edit 3: no sé por qué la respuesta anterior fue aceptada. La respuesta correcta resulta ser no decisivo.

Naturalmente, nosotros (o por lo menos yo) tienden a pensar que la $F(x)\le x$ todos los $x\in[0,1]$. Y eso es cierto para funciones como $F(x)=x^2$. Sin embargo, sin la continuidad de $F$, hay contador de ejemplos. El más simple sería $$F(x)=\begin{cases}0&\text{ if } x\le \frac12\\ 1&\text{ if } x>\frac12\end{casos}$$ o, si queremos $F$ a ser estrictamente creciente $$F(x)=\begin{cases}\frac{x}{2} &\text{ if }x\le \frac12\\ \frac{1+x}{2}&\text{ if }x>\frac12.\end{casos}$$

Answer 2

Establecer$F=f-2$.

Luego$F(0)=0$ y$F(1)=1$, y$F(x+y)\ge F(x)+F(y)$, y$F$ en aumento.

Entonces, en particular,$F(2x)\ge 2 F(x)$, si$x\in[0,1/2]$, y por lo tanto $$ 2 ^ nF (2 ^ {- n}) \ le F (1) = 1, \, \, \, n \ en \ mathbb N. $$ Así $$ F (2 ^ {- n}) \ le 2 ^ {- n}, $$ y finalmente $$ f (2 ^ {- n}) \ le 2 ^ {- n } +2. $$

Answer 3

Ya casi terminaste. Si$F(x_1+x_2) \geq F(x_1)+F(x_2)$, tome$x_1=x_2$ y obtenga$F(2x) \geq 2F(x)$. Por lo tanto,$1=F(1) \geq 2F(1/2)$, lo que implica$1/2 \geq F(1/2)$. Inductivamente puedes mostrar que$1/2^n \geq F(1/2^n)$.