Continuidad uniforme y compacidad

Question

Sabemos que, si una función $f$ es un mapeo continuo de un espacio métrico compacto a otro espacio métrico digamos $Y$ entonces $f$ es uniformemente continua.

¿Tenemos una generalización de este teorema para un espacio topológico general?

Answer 1

Para generalizar el resultado, hay que generalizar las nociones. La continuidad se define en el contexto de los espacios topológicos. Sin embargo, la continuidad uniforme no lo está.

Aquí está la definición de continuidad uniforme para espacios métricos:

Dejemos que $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ sean espacios métricos.

Una función $f:X\to Y$ es uniformemente continua si

$$\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\forall x,y\in X, d_X(x,y)<\delta\implies d_Y(f(x),f(y))<\varepsilon.$$

A diferencia de la definición de continuidad, se ve que se trata de dos variables, y es necesario expresar la idea de que "dondequiera que $x$ y $y$ son, si son cerrar suficiente". Espacios uniformes generalizar esta noción.

A todo espacio métrico se le puede dar una estructura uniforme compatible con la distancia, al igual que a todo espacio métrico se le puede dar una estructura topológica compatible con la distancia. Asimismo, a todo espacio uniforme se le puede dar una estructura topológica compatible con la estructura uniforme. Así que se puede hablar de compacidad o continuidad cuando se trata de espacios uniformes. La continuidad uniforme de una función entre dos espacios uniformes se define de forma similar a la continuidad de los espacios topológicos.

Su resultado se generaliza a esto:

Dejemos que $X$ , $Y$ sean espacios uniformes y $f:X\to Y$ sea una función continua.

Supongamos que $X$ es compacto. Entonces $f$ es uniformemente continua.

Supongo que encontrarás este resultado en cualquier libro sobre espacios uniformes. Por ejemplo, ver la Proposición 8.17 página 133 en Topologías y uniformidades .