Límite de $\frac{1}{7}e^{-2x^2}(1-4x^2)$ como $x\to\infty$

Question

He calculado la derivada de $\frac{x}{7}*e^{-2x^2}$ y consiguió $\frac{1}{7}e^{-2x^2}(1-4x^2)$ (Lo incluí porque si me equivoqué en el cálculo el resto no tiene sentido)

No sé cómo encontrar el límite de esta función: $$\frac{1}{7}e^{-2x^2}(1-4x^2)$$ Intenté dividirlo en dos pero aún no sé cómo manejar esto $$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{7}e^{-2x^2}+\lim_{x \to \infty} \frac{1}{7}xe^{-2x^2}*(-4x) $$

Answer 1

Sugerencia : Reescribe la expresión como

$$\frac{1}{7}e^{-2x^2}\left(1-4x^2\right) = \frac{1-4x^2}{7e^{2x^2}}$$

Ahora, fíjate en el crecimiento del numerador y del denominador. ¿Cuál crece más rápido?

Answer 2

Utilizando la regla de L'Hôpital , obtenemos \begin{align} \lim_{x\to \infty}\frac{1-4x^2}{7e^{2x^2}}&=\lim_{x\to \infty}\frac{-8x}{28\cdot xe^{2x^2}}\\ &=\lim_{x\to \infty}\frac{-8}{28e^{2x^2}}=0 \end{align} .

Answer 3

Su derivada es correcta.

Entonces arréglalo como:

$$\frac{1-4x^2}{7e^{2x^2}}$$

Usa eso, debido a que la exponenciación tiene un efecto mucho mayor que los índices, $e^{2x^2}>>4x^2$ para un tamaño suficientemente grande $x$ para demostrar que este límite es muy claro $0$

Answer 4

Tenga en cuenta que para $x\ge0$ , $$ \begin{align} e^x &=1+x+\frac{x^2}2+\dots\\ &\ge\frac{x^2}2\tag1 \end{align} $$ Así, $$ e^{-2x^2}\le\frac1{2x^4}\tag2 $$ Aplicando $(2)$ a la expresión de la derivada da $$ \begin{align} \left|\frac17e^{-2x^2}\!\!\left(1-4x^2\right)\right| &\le\frac{4x^2+1}7\frac1{2x^4}\\ &=\frac2{7x^2}+\frac1{14x^4}\tag3 \end{align} $$

Answer 5

Ya tienes la solución. El siguiente límite: $$\frac{1}{7}\lim_{x\to \infty}\frac{1}{e^{2x^2}}=0.$$

No creo que ese sea su problema. La última parte es la que probablemente tenía problemas. Yo probaría con la sustitución de la u. Deje que $u=x^2$ entonces tenemos lo siguiente: $$-\frac{4}{7} \lim_{u\to\infty}\frac{u}{e^{2u}}=0 $$ por L'Hopitals Rule.