Probar fórmula de área triangular para coordenadas baricéntricas

Question

Deje $P_1, P_2, P_3$ ser puntos con baricéntrico coordenadas (con referencia triángulo $ABC$) $P_i = (u_i, v_i, w_i )$ para $i = 1, 2, 3$. Luego de la firma del área de $\Delta P_1P_2P_3$ está dado por el determinante $$\frac{[P_1P_2P_3]}{[ABC]}=\begin{vmatrix} u_1& v_1& w_1 \\ u_2& v_2& w_2\\u_3& v_3& w_3 \end{vmatrix}$$

Me encontré con este teorema en Evan Chen "Geometría Euclidiana en Olimpiadas de Matemática", donde la prueba se omite. Yo no había probado esto mismo y no puede encontrar la prueba en línea. Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

El área de un triángulo cuyos vértices tienen coordenadas cartesianas $(x_i, y_i)$es $$\frac 1 2 \begin{vmatrix} x_2 - x_1 & y_2 - y_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 \end{vmatrix} = \frac 1 2 \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}.$$ Si los tres puntos $(x_i, y_i)$ se han normalizado baricéntrico coordenadas $(u_i, v_i, w_i)$, luego $$\frac 1 2 \begin{pmatrix} u_1 & v_1 & w_1 \\ u_2 & v_2 & w_2 \\ u_3 & v_3 & w_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_A & y_A & 1 \\ x_B & y_B & 1 \\ x_C & y_C & 1 \end{pmatrix} = \frac 1 2 \begin{pmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{pmatrix}.$$ El determinante de la matriz producto es el producto de los determinantes.

Answer 2

Sin pérdida de generalidad, vamos a $\,ABC\,$ ser los tres vectores de la base en un sistema de coordenadas cartesianas y deje $\,O\,$ ser el origen. El triángulo $\,\triangle ABC\,$ es el casco convexo de $\,\{A,B,C\}\,$ y es la base de un tetraedro con vértices en a$\,O\,$. Cualquiera de los tres puntos $\,\{P_1,P_2,P_3\}\,$ en el plano de $\,\triangle ABC\,$ también forma la base de un tetraedro con vértices en a$\,O.\,$ es bien sabido que el volumen de un tetrahedon es $\,1/6\,$ el área de la base por la altura a la base, y también que el volumen es $\,1/6\,$ el determinante de la matriz dada por las coordenadas de los tres puntos. Solicitado el resultado de la siguiente manera. El hecho clave que se necesita es que la relación longitud, área o volumen es un afín invariante.