Una observación curiosa sobre los vectores propios de las matrices$3 \times 3$ - Álgebra Lineal * de Hoffman y Kunze

Question

Estoy leyendo Hoffman y Kunze del Álgebra Lineal, 2ª ed., y me hizo una curiosa observación en un par de los ejemplos relativos al cálculo de autovalores y autovectores en el Capítulo 6.

En el Ejemplo 2, en las páginas 184-185, tenemos el (verdadero) $3 \times 3$matriz $$ A = \begin{bmatrix} 3 & 1 & -1\\ 2 & 2 & -1\\ 2 & 2 & \phantom{-}0 \end{bmatrix}. $$ El polinomio característico de a$A$ es $(x-1)(x-2)^2$. Por lo tanto, los valores característicos de la $A$ se $1$ e $2$. Tenemos $$ \begin{align} A - I &= \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1\\ 2 & 1 & -1\\ 2 & 2 & -1 \end{bmatrix}\\\\ A - 2I &= \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1\\ 2 & 0 & -1\\ 2 & 2 & -2 \end{bmatrix}. \end{align} $$ La característica de los espacios asociados a cada valor de la característica es unidimensional en este caso. El vector $\alpha_1 = (1,0,2)$ se extiende por el espacio nulo de a$T - I$ y el vector $\alpha_2 = (1,1,2)$ se extiende por el espacio nulo de a$T - 2I$.

Aquí, mi observación es que $\alpha_1$ es la media del vector columna de $A - 2I$, e $\alpha_2$ es la media del vector columna de $A - I$.

Algo similar sucede en el Ejemplo 3 (páginas 187-188): $T$ es el operador lineal en $\Bbb{R}^3$ que está representado en el estándar de la ordenada por la matriz $$ A = \begin{bmatrix} \phantom{-}5 & -6 & -6 \\ -1 & \phantom{-}4 & \phantom{-}2 \\ \phantom{-}3 & -6 & -4 \end{bmatrix}. $$ El polinomio característico es calculado para ser $(x-2)^2(x-1)$. Entonces, tenemos $$ \begin{align} A - I &= \begin{bmatrix} \phantom{-}4 & -6 & -6 \\ -1 & \phantom{-}3 & \phantom{-}2 \\ \phantom{-}3 & -6 & -5 \end{bmatrix}\\\\ A - 2I &= \begin{bmatrix} \phantom{-}3 & -6 & -6 \\ -1 & \phantom{-}2 & \phantom{-}2 \\ \phantom{-}3 & -6 & -6 \end{bmatrix}. \end{align} $$ El espacio nulo de a$T-I$ es unidimensional y el espacio nulo de a$T-2I$ es de dos dimensiones. El vector $\alpha_1 = (3,-1,3)$ se extiende por el espacio nulo de a$T-I$. El espacio nulo de a$T-2I$ consta de los vectores $(x_1,x_2,x_3)$ con $x_1 = 2x_2 + 2x_3$, por lo que los autores dan un ejemplo de una base del espacio nulo de a$T-2I$ como $$\begin{align}\alpha_2 &= (2,1,0)\\ \alpha_3 &= (2,0,1).\end{align}$$ However, we can also take $$\begin{align}\alpha_2 &= (-6,3,-6)\\ \alpha_3 &= (-6,2,-5)\end{align}$$ and we see again that $\alpha_1$ is the first column of $A - 2I$ and $\alpha_2,\alpha_3$ are the second and third columns of $A - I$.

Esto me parece bastante curioso, ya que los autores no mencionan esta observación. Hay una explicación simple de por qué esto está sucediendo, y esta observación puede ser utilizado para encontrar rápidamente los vectores propios de transformaciones lineales?

Answer 1

Deje que el polinomio mínimo de a$A$ser $$ f(x) = \prod_{i=1}^n (x-\lambda_i), $$ donde $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ son los autovalores de a$A$ (no necesariamente distintos). A continuación, $$\prod_{i=1}^n(A-\lambda_i)=0.$$

Por lo tanto, tenemos $$(A-\lambda_1)(\prod_{i=2}^n(A-\lambda_i))=0,$$ es decir, las columnas de a$\prod_{i=2}^n(A-\lambda_i)$ son vectores propios de $ \lambda_1$.