Si entiendo correctamente, a continuación, para que un operador $\mathcal{A}$ definido sobre un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$, $\langle \mathcal{A}x,x\rangle\geq 0$ no implica necesariamente que $\mathcal{A}$ es Hermitian: $\mathcal{A} = \mathcal{A}^\ast$. Véase, por ejemplo , Es positivo el operador simétrico?
Sin embargo, me fue mostrada la siguiente prueba de la supuesta declaración errónea y me preguntaba si hay algo mal en él para que yo no puedo encontrar a mí mismo?
Lema 1: $\langle Tx,x\rangle = 0$ por cada $x\in \mathcal{H}$ implica que $T \equiv 0$.
Prueba: Nos muestran que $\langle Tx,y\rangle = 0$ para cada par $x,y\in \mathcal{H}.$ Hecho
\begin{align*} 0 = \langle T(x+y),x+y\rangle - \langle T(x-y),x-y\rangle & = 2\langle Tx,y\rangle+2\langle Ty,x\rangle. \end{align*} Esto implica que $$\langle Tx,y\rangle = -\langle Ty,x\rangle.$$
El intercambio de $x$ con $ix$ rendimientos
$$0 = i\langle Tx,y\rangle -i\langle Ty,x\rangle$$ por qué $$\langle Tx,y\rangle = \langle Ty,x\rangle$$ en suma, nos encontramos con que $\langle Tx,y\rangle = \pm \langle Ty,x\rangle$ lo que implica que tanto se $0$.
La prueba de que $\langle \mathcal{A}x,x\rangle\geq 0$ implica que $\mathcal{A}^\ast = \mathcal{A}$:
Tenemos que
$$\mathbb{R}\ni\langle \mathcal{A}x,x\rangle = \langle x,\mathcal{A}^\ast x\rangle = \overline{\langle \mathcal{A}^\ast x,x\rangle } = \langle \mathcal{A}^\ast x, x\rangle\Rightarrow \langle (\mathcal{A}-\mathcal{A}^\ast)x,x\rangle = 0$$ para cada $x$ , por tanto, por el lema $\mathcal{A}-\mathcal{A}^\ast\equiv 0$.
