Es una respuesta larga derivar una ecuación de la energía para describir una galaxia como un ideal, no-relativista de plasma con conductividad infinita para demostrar que $p=0$ hay necesidad.
No creo que $p=0$ se aplica siempre. Voy a derivar una ecuación de la energía para un plasma que se podría describir por ejemplo, una galaxia, si quieres, que incluye un no-cero de la presión plazo. Voy a utilizar una magnetohidrodinámica (MHD). En una fórmula que describe la conservación de la energía en el MHD, esperamos que los términos que describen la energía del fluido en la ausencia de campos magnéticos, tales como la energía cinética o la presión de un fluido, sino también términos que describen la interacción entre el fluido y el campo magnético, tales como el trabajo realizado por la fuerza de Lorentz.
Si nos quedamos en el marco de Lagrange (un elemento de volumen de co-movimiento con el líquido), el flujo de energía a través de la superficie (es negativo debido a que la energía está fluyendo hacia fuera del elemento de volumen.) $-\nabla\cdot\boldsymbol{q}$ más el volumen de la velocidad de calentamiento $R_V$ debe ser igual a la entrada de calor por unidad de volumen ( $\rho\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}$:
\begin{equation}\label{eq:HeatInputRate}
\rho\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=-\nabla\cdot\boldsymbol{q}+R_V,
\end{equation}
con $Q$ el calor por unidad de masa y $\boldsymbol{q}$ el flujo de calor a través de la frontera. El volumen de la velocidad de calentamiento $R_V$ puede ser descompuesto en el viscoso de la velocidad de calentamiento $\boldsymbol{\Pi}\left(\nabla\boldsymbol{V}\right)$ y el calentamiento Óhmico tasa de $\boldsymbol{J}\cdot\boldsymbol{E}=\frac{1}{\sigma}\boldsymbol{J}^2$, que es cero, bajo el supuesto de conductividad infinita. Estas cantidades se pueden derivar de la siguiente manera:
Volumétrica De La Velocidad De Calentamiento Viscoso
El viscoso tensor de tensiones $\boldsymbol{\Pi}$, es de la forma
\begin{equation}
\boldsymbol{\Pi}= \begin{pmatrix}
0 & \alpha & \beta \\
\alpha & 0 & \gamma\\
\beta & \gamma & 0
\end{pmatrix},
\end{equation}
con, $\alpha$, $\beta$, e $\gamma$ escalares. Con esto, podemos calcular el trabajo realizado sobre un elemento de volumen, $W_V=\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{F}_V$, por la fuerza viscosa $\boldsymbol{F}_V=\nabla\cdot\boldsymbol{\Pi}$:
\begin{align}
W_F&=\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{F}_V\\
&=\boldsymbol{V}\cdot\left(\nabla\cdot\boldsymbol{\Pi}\right)\\
&=\nabla\cdot\left(\boldsymbol{\Pi}\cdot\boldsymbol{V}\right)-\boldsymbol{\Pi}\left(\nabla\boldsymbol{V}\right)\\
&=\partial_j\left(v_i\Pi_{ji}\right)-\Pi_{ji}\partial_jv_i,
\end{align}
donde $\nabla\boldsymbol{V}$ se refiere a la derivada covariante. Si ahora estamos interesados en las correspondientes energías, tenemos que integrar sobre todo el volumen. Entonces, nos encontramos con
\begin{align}
\int_V \!W_F\,\mathrm{d}V&=\int_V\!\nabla\cdot\left(\boldsymbol{\Pi}\cdot\boldsymbol{V}\right)\,\mathrm{d}V-\int_V\!\boldsymbol{\Pi}\left(\nabla\boldsymbol{V}\right)\,\mathrm{d}V\\
&=\oint_S\!\mathrm{d}\boldsymbol{S}\cdot\left(\boldsymbol{\Pi}\cdot\boldsymbol{V}\right)-\int_V\!\boldsymbol{\Pi}\left(\nabla\boldsymbol{V}\right)\,\mathrm{d}V.
\end{align}
El primer término en el lado derecho se describe la energía en la superficie, o más precisamente, el trabajo que realiza en la superficie; el segundo, la energía almacenada dentro del volumen. La energía cinética se pierde en el fluido si $\boldsymbol{\Pi}\left(\nabla\boldsymbol{V}\right)>0$ y la superficie del término está ausente. Esta energía debe, por tanto, muestran como la energía interna! $\boldsymbol{\Pi}\left(\nabla\boldsymbol{V}\right)$ es por lo tanto el volumen del viscoso de la velocidad de calentamiento.
Volumétrica Calentamiento Óhmico De La Tasa De
De forma análoga a la fricción mecánica, eléctrica fricción$\,-\,$resistividad$\,-\,$también hace calor. $\boldsymbol{J}\cdot\boldsymbol{E}$ da la tasa de trabajo realizado por los campos en el elemento de volumen. De nuevo, tomando la integral sobre el volumen nos daría la energía, sino $\boldsymbol{J}\cdot\boldsymbol{E}$ puede ser simplificado bajo los supuestos ya hemos hecho. En el Lagrangiano de marco nos encontramos con $\boldsymbol{J}=\frac{1}{\sigma}\boldsymbol{E}$, que es, bajo el supuesto de conductividad infinita, cero.
Hasta ahora, no hemos tenido en cuenta que estamos tratando con un plasma de$\,-\,$estadístico conjunto se puede describir por la termodinámica (TD). En TD, supongamos que tenemos un enorme, no necesariamente se conoce, el número de partículas de actuar de manera tal que su comportamiento colectivo puede ser estadísticamente descrito. Una de las propiedades más importantes de un conjunto es su entropía $S$. La diferencial total de la entropía está dada por
\begin{align}
\mathrm{d}S&=
\left(\frac{\partial S}{\partial \mathcal{E}}\right)_{V,N}\mathrm{d}\mathcal{E}+
\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{\mathcal{E},N}\mathrm{d}V-
\left(\frac{\partial S}{\partial N}\right)_{\mathcal{E},V}\mathrm{d}N\\
&=\frac{1}{T}\mathrm{d}\mathcal{E}+\frac{p}{T}\mathrm{d}V-\frac{\mu}{T}\mathrm{d}N\label{eq:dSentropy}
\end{align}
con $\mathcal{E}$ la energía, $V$ el volumen, $p$ la presión, $\mu$ el potencial químico, $N$ el número de partículas, y $T$ la temperatura. La conservación de energía es una regla fundamental en la física. Una galaxia como un todo pierde energía por radiación a la que rodea el espacio intergaláctico. Esto es representado por d$\mathcal{E}$.
Vamos a proceder con el segundo término de la ecuación de la entropía. Uno podría decir que la presión en la galaxia es muy bajo$\,-\,$es sobre todo un espacio vacío, un vacío. Pero la temperatura en estas zonas también está cerca de a $0$ K, por lo que el término $\frac{p}{T}$ no necesariamente desaparecen, puede muy bien ser la unidad, dejando el cambio en el volumen d$V$ no despreciable. El potencial químico, así como el número de partículas cambia constantemente en una galaxia. Las estrellas son la fusión de elementos más ligeros para los elementos más pesados, aumentando el potencial químico y la disminución del número de partículas. Pero ¿cómo se compara con el número total de partículas en una galaxia? Si asumimos que una galaxia se inicia a partir de una pura nube de hidrógeno y consideramos el hecho de que hoy en día aproximadamente el 75% de toda la masa bariónica todavía son el hidrógeno y el 24% de helio tanto, el número de partículas, así como el potencial químico, cambian muy lentamente. Como podemos observar galáctica campos magnéticos ya en galaxias jóvenes (de alto corrimiento al rojo de las galaxias), no tenemos que considerar la totalidad de la vida de, digamos, la nuestra, la vía Láctea, cuando tratamos de entender el origen de los campos magnéticos. Sólo una fracción de la edad de nuestra vía Láctea debería ser suficiente para establecer un campo magnético. Por lo tanto, el último término de la ecuación de la entropía puede ser descuidado y sólo tenemos que considerar
\begin{equation}\label{eq:SentropyReduced}
\mathrm{d}S=\frac{1}{T}\mathrm{d}\mathcal{E}+\frac{p}{T}\mathrm{d}V.
\end{equation}
La entropía está conectado al calor de la d$S=\delta Q_{rev}/T$, donde $\delta Q_{rev}$ es el cambio de calor en una reversible proceso.
Empezamos nuestras consideraciones acerca de la energía con elementos de volumen. La reducción de la entropía ecuación describe el campo magnético galáctico como un todo. Para considerar su estructura interna, también se debe considerar la interacción entre los elementos de volumen. Pequeños paquetes dentro de la galaxia puede intercambiar energía. Por lo tanto, cuando se considera el interior de comportamiento, este cambio en la energía tiene que ser considerado. Para que el cambio en el calor para los pequeños elementos de volumen, podemos reformular la reducción de la entropía de la ecuación, de acuerdo con las leyes de la termodinámica:
\begin{equation}
\mathrm{d}Q=p\mathrm{d}\left(\frac{1}{\rho}\right)+\mathrm{d}\epsilon,
\end{equation}
con $p\mathrm{d}\left(\frac{1}{\rho}\right)$ el PV-trabajo por unidad de masa y $\mathrm{d}\epsilon$ el cambio en la energía por unidad de masa. Sustituyendo esto en la ecuación que describe la entrada de calor ritmo desde el principio y con el hecho de que no hay calentamiento Óhmico bajo conductividad infinita, nos encontramos con
\begin{equation}
p\rho\frac{\mathrm{d}\left(\frac{1}{\rho}\right)}{\mathrm{d}t}
+\rho\frac{\mathrm{d}\epsilon}{\mathrm{d}t}=-\nabla\cdot\boldsymbol{q}+\boldsymbol{\Pi}\left(\nabla\boldsymbol{V}\right).
\end{equation}
El factor de $\frac{\mathrm{d}\left(\frac{1}{\rho}\right)}{\mathrm{d}t}$ puede escribirse, usando la ecuación de continuidad:
\begin{align}
\frac{\mathrm{d}\left(\frac{1}{\rho}\right)}{\mathrm{d}t}&=\frac{-1}{\rho^2}\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}t}\\
&=\frac{-1}{\rho^2}\left(-\rho\nabla\cdot\boldsymbol{V}\right)\\
&=\frac{1}{\rho}\nabla\cdot\boldsymbol{V}.
\end{align}
Con esto se puede expresar la velocidad de cambio de energía por unidad de volumen como
\begin{equation}
\rho\frac{\mathrm{d}\epsilon}{\mathrm{d}t}=-p\nabla\cdot\boldsymbol{V}-\nabla\cdot\boldsymbol{q}+\boldsymbol{\Pi}\left(\nabla\boldsymbol{V}\right).
\end{equation}
De nuevo, podemos usar la ecuación de continuidad, pero esta vez para volver a escribir
\begin{equation}
\rho\frac{\mathrm{d}\epsilon}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\rho\epsilon\right)+\rho\epsilon\nabla\cdot\boldsymbol{V},
\end{equation}
lo que conduce a la ecuación de la energía
$\begin{equation}\label{eq:energy}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\rho\epsilon\right)=-\rho \epsilon\nabla\cdot\boldsymbol{V}-p\nabla\cdot\boldsymbol{V}-\nabla\cdot\boldsymbol{q}+\boldsymbol{\Pi}\left(\nabla\boldsymbol{V}\right).
\end{equation}$
Si ahora nos aproximan a la del plasma como un gas ideal, podemos reescribir esta ecuación. Las densidades en el medio interestelar son muy bajos, lo que significa que algunas de las interacciones entre partículas, que básicamente describe un gas ideal. En TD es la energía de un gas ideal sólo depende de la presión aplicada:
\begin{equation}
\rho\epsilon= \frac{p}{\Gamma-1},
\end{equation}
con $\Gamma=5/3$ el índice adiabático para el plasma. Esto produce:
\begin{align}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(p\right)
&=\left(\Gamma-1\right)\left(
-\frac{p}{\Gamma-1}\nabla\cdot\boldsymbol{V}-p\nabla\cdot\boldsymbol{V}-\nabla\cdot\boldsymbol{q}+\boldsymbol{\Pi}\left(\nabla\boldsymbol{V}\right)
\right)\\
&=-\Gamma p\nabla\cdot\boldsymbol{V}-\left(\Gamma-1\right)\left( \nabla\cdot\boldsymbol{q}-\boldsymbol{\Pi}\left(\nabla\boldsymbol{V}\right)
\right).\label{eq:idealEnergy}
\end{align}
El primer término en el lado derecho representa la reversibles PV-trabajo, el segundo término el irreversible proceso de calentamiento. La presión no tiene que ser cero. q.e.d.
