$f: G \to \mathbb{C}^*$ es un homomorfismo. Demuestre que la suma $\sum f (g) = 0$ o $n$

Question

Dejemos que $ \mathbb{C}^*$ sea el grupo multiplicativo de los números complejos distintos de cero. Sea $G$ sea un grupo abeliano y suponga $f: G \to \mathbb{C}^*$ es un homomorfismo. Demostrar que $\sum_{g \in G} f(g)=n$ o, $\sum_{g \in G} f(g)=0$ , donde $n =o(G)$

Intento de prueba:

El caso es evidente para el homomorfismo trivial; la suma es $n$ .

Para la segunda parte

Sabemos que los únicos elementos con orden finito en el grupo $ \mathbb{C}^*$ son $1$ y $-1$ con $o(-1)=2$ .

Ahora bien, el único caso en que $f(g)$ puede tomar $-1$ como valor es cuando $n$ está en paz.

Consideremos el subgrupo $(\{1, -1\}, .) = G'$ del grupo $ \mathbb{C}^*$ . Tenemos, a partir del Teorema del Isomorfismo, $ G/ \ker( f ) \simeq G' $ [desde $f$ toma cada valor de $G'$ ].

Como $o(G')=2$ , $o(G/ \ker( f ))=2$ es decir $o(\ker (f))= n/2$ . Por lo tanto, al sumarlos, la resultante es $0$ .

Edición: Se ha hecho una suposición tonta. Los números complejos finitos ordenados en dicho grupo son de la forma $z^n=1$ Así que he "demostrado" un caso muy restringido, que no es en absoluto deseado.

Answer 1

No es necesario que $G$ sea abeliano, a saber:

Si

$f(g) = 1, \; \forall g \in G, \tag 1$

entonces claramente

$\displaystyle \sum_{g \in G} f(g) = n, \tag 2$

desde

$o(G) = n; \tag 3$

si

$\exists h \in G, \; f(h) \ne 1, \tag 4$

entonces desde

$hG = G, \tag 5$

tenemos

$$\begin{align} \sum_{g \in G} f(g) &= \sum_{g \in G} f(hg) \\ &= \sum_{g \in G} f(h)f(g) \\ &= f(h)\sum_{g \in G} f(g); \tag 6 \end{align}$$

con $f(h) \ne 1$ esto obliga a

$\displaystyle \sum_{g \in G} f(g) = 0. \tag 7$

$OE\Delta$ .

Answer 2

He aquí una forma novedosa de utilizar la teoría de la representación. El homomorfismo $f$ es una representación irreducible (unidimensional) de un grupo finito $G$ y $\sum_{g \in G} f(g)$ es la suma del carácter $\chi_f$ en $g \in G$ es decir $\chi_f = f$ .

Desde $\sum_{g \in G} \chi_f(g) = \lvert G \rvert\langle \chi_f, 1 \rangle$ la suma es cero si y sólo si $1$ no es un sumando directo de $f$ . En ese caso, $f$ es trivial y la suma es $n$ .