Para una función definida por continuidad de estudio de partes, y diferenciabilidad en dos puntos

Question

Para la función definida por $$F(x)=\begin{cases}\displaystyle\int_x^{2x}\sin t^2\,\mathrm dt,&x\neq0\\0,&x=0\end{cases}$$ analyze continuity and derivability at the origin. Is $F$ derivable at point $x_0=\sqrt{\pi/2}$? Justify the answer, and if possible, calculate $F'(x_0)$.

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Me han dicho que debo usar el Teorema Fundamental del Cálculo Integral, pero no sé cómo aplicarlo a este caso.

Para que la función sea continua en el origen, debe suceder que $F(0)=\lim_{x\to0}F(x)$. Sabemos que $F(0)=0$, y $$\lim_{x\to0}F(x)=\lim_{x\to0}\int_x^{2x}\sin t^2\,\mathrm dt\;{\bf\color{red}=}\int_0^{2\cdot0}\sin t^2\,\mathrm dt=0,$$ so the statement holds, but here I do now how to justify the $\bf\color{rojo}=$.

Para encontrar la derivada en $x_0=0$ he probado el de diferenciar directamente a$F(x)$ pero es incorrecto, por lo que me han dicho que debo utilizar la definición. Así que tenemos que encontrar $$F'(0)=\lim_{x\to0}\frac{F(x)-F(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{\int_x^{2x}\sin t^2\,\mathrm dt}x.$$ Why we have to bound $\izquierda|\sen t^2\right|\leq t^2$? ¿Cómo podemos hacer eso?

Por último, no sé cómo utilizar el mencionado teorema para justificar que la función es derivable en a$\sqrt{\pi/2}$. Usando la definición de nuevo:

\begin{align*} F'\left(\sqrt{\frac\pi2}\right)&=\lim_{x\to\sqrt{\frac\pi2}}\frac{F(x)-F\left(\sqrt{\frac\pi2}\right)}{x-\sqrt{\frac\pi2}}\\ &=\lim_{x\to\sqrt{\frac\pi2}}\frac{\int_x^{2x}\sin t^2\,\mathrm dt-\int_{\sqrt{\pi/2}}^{2\sqrt{\pi/2}}\sin t^2\,\mathrm dt}{x-\sqrt{\frac\pi2}}\\ &\leq\lim_{x\to\sqrt{\frac\pi2}}\frac{\int_x^{2x}t^2\,\mathrm dt-\int_{\sqrt{\pi/2}}^{2\sqrt{\pi/2}}t^2\,\mathrm dt}{x-\sqrt{\frac\pi2}}\\ &\underbrace=_{A=\sqrt{\pi/2}}\lim_{x\to A}\frac{1/3((2x)^3-x^3)-1/3((2A)^3-(A^3))}{x-A}\\ &=\frac73\lim_{x\to A}\frac{x^3-A^3}{x-A}\\ &=\frac73\lim_{x\to A}\frac{(x-A)(x^2+Ax+A^2)}{x-A}\\ &=\frac73(A^2+A^2+A^2)\\ &=7A^2\\ &=\frac{7\pi}2, \end{align*}

pero es incorrecto.

¿Cómo podemos resolver la declaración?

Gracias!

Answer 1

Si desea evaluar el límite:

$$\displaystyle\lim_{x\to 0}F(x)=\lim_{x\to 0}\int_{x}^{2x}\sin(t^2)dt$$

se puede observar que $\forall x>0$ (en el caso de $x<0$ es el mismo), $f(t)=\sin(t^2)$ es continua en a$[x,2x]$ así que para el valor medio teorema, existe $\xi_{x}\in (x,2x)$ tales que

$$\int_{x}^{2x}\sin(t^2)dt=\sin(\xi_{x}^2)(2x-x)\implies F(x)=\sin(\xi_{x}^2)x$$

Ahora $\xi_{x}\to 0$ para $x\to 0^{+}$ así:

$$\lim_{x\to 0^{+}}F(x)=\lim_{x\to 0}\sin(\xi_{x}^2)x=[\sin(0)\cdot 0]=0$$

Tenga en cuenta que este argumento puede ser utilizado para demostrar que la $F(x)$ es derivable para $x=0$, de hecho:

$$\lim_{x\to 0^{+}}\frac{F(x)-F(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin(\xi_{x}^2)x}{x}=\lim_{x\to 0}\sin(\xi_{x}^2)=0$$

Para $x_0=\sqrt{\frac{\pi}{2}}$, la derivada de $F(x)$ se puede encontrar utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo Integral.

$F'(x)=2\sin(4x^2)-\sin(x^2)\implies F'\left(\sqrt{\frac{\pi}{2}}\right)=2\sin(4\cdot\frac{\pi}{2})-\sin(4\cdot\frac{\pi}{2})=-1$

Answer 2

Desde $\frac {\sin\, x} x\to1 $como $x \to 0$ podemos encontrar $\delta >0$ tal que $\frac 1 2 t^{2} \leq\sin(t^{2})\leq 2t^{2}$ para $|t| <\delta$. Esto le da a $\frac 7 6 x^{3} \leq F(x) \leq \frac {14} 3x^{3}$ para $0<x<\sqrt {\delta}$ y se desprende fácilmente de la definición que la mano derecha derivado de la $F$ a $0$ es $0$. Hacer la sustitución $s=-t$ a ver que la mano izquierda derivado también es $0$. Por lo tanto $F'(0)=0$. Para $x>0$ tenemos $F(x)=\int_0^{2x}\sin(t^{2})\, dt -\int_0^{x}\sin(t^{2})\, dt$ a partir de la cual se sigue (por el Teorema Fundamental del Cálculo) que $F'(x)=2\sin(4x^{2})-\sin(x^{2})$. En el punto dado $x_0$ la derivada es $-1$.

Answer 3

Usted sólo tiene que utilizar el teorema fundamental del cálculo. Dado que el integrando $\sin(t^2)$ es continua en todas partes podemos escribir $$F(x) =\int_{0}^{2x}\sin t^2\,dt-\int_{0}^{x}\sin t^2\,dt$$ Use substitution $z=t/2$ in first integral on right to get $$F(x) =2\int_{0}^{x}\sin (4z^2)\,dz-\int_{0}^{x}\sin t^2\,dt$$ and by FTC we can see that $F$ is continuous and differentiable everywhere with derivative $$F'(x) =2\sin (4x^2)-\sin x^2$$ for all $x\in\mathbb {R} $.

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Para referencia menciono FTC explícitamente :

Teorema Fundamental del Cálculo Parte 1: Vamos a la función de $f:[a, b] \to\mathbb {R} $ ser Riemann integrable en $[a, b] $. A continuación, la función de $F:[a, b] \to\mathbb {R} $ definido por $$F(x) =\int_{a} ^{x} f(t) \, dt$$ is continuous on $[a, b] $ and if $f$ is continuous at some point $c\in[a, b] $ then $F$ is differentiable at $c$ with derivative $F'(c) =f(c) $.

Usando el teorema anterior se puede demostrar que si una función $f:\mathbb {R} \to\mathbb {R} $ es Riemann integrable en cada acotado y cerrado intervalo de la función $F:\mathbb {R} \to\mathbb {R} $ definido por $$F(x) =\int_{a} ^{x} f(t) \, dt$$ for some $un\in\mathbb {R} $ is continuous everywhere and if $f$ is continuous at some point $c\in \mathbb {R} $ then $F$ is differentiable at $c$ with $F'(c) =f(c) $.