¿Cómo tomar cada tercer elemento de una serie?

Question

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = 1.644934$ o $\frac{\pi^2}{6}$

Lo que si tomamos cada 3er plazo y sumarlos?

$ \frac{1}{3^2} + \frac{1}{6^2} + \frac{1}{9^2} + \cdots = ??$

Cómo tomar cada 3-1 plazo y sumarlos?

$ \frac{1}{2^2} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{8^2} + \cdots = ??$

Cómo tomar cada 3-2 plazo y sumarlos?

$ \frac{1}{1^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{7^2} + \cdots = ??$

No estoy seguro de cómo adaptar Eulers métodos de como se utiliza el poder de la serie de los pecados de sus argumentos: https://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem

Answer 1

Tenga en cuenta que tenemos

$$\psi'(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+z)^2}$$

donde $\psi'(z)$ es la derivada de la función digamma. Por lo tanto, podemos escribir

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(3n+1)^2}=\frac19 \psi'(1/3)$$

y

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(3n+2)^2}=\frac19 \psi'(2/3)$$

Curiosamente, desde que tenemos

$$\sum_{n=0}^\infty \left(\frac1{(3n+3)^2}+\frac1{(3n+2)^2}+\frac1{(3n+1)^2}\right)=\frac{\pi^2}{6}$$

nos encontramos con que

$$\psi'(1/3)+\psi(2/3) = 4\pi^2/3$$

Answer 2

Como complemento de la Marca de la respuesta,

$$\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(3n+1)^2}=-\int_{0}^{1}\sum_{n\geq 0} x^{3n}\log(x)\,dx=\int_{0}^{1}\frac{-\log x}{1-x^3}\,dx $$ (y de manera similar $\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(3n+2)^2}$) puede ser expresada en términos de dilogarithms, ya que $$ \int_{0}^{1}\frac{-\log x}{1-a x}=\frac{\text{Li}_2(a)}{a} $$ para cualquier $|a|\leq 1$, $\text{Li}_2(a)=\sum_{n\geq 1}\frac{a^n}{n^2}$. Esto es equivalente a decir que la $\psi'\left(\frac{1}{3}\right)$ e $\psi'\left(\frac{2}{3}\right)$ puede ser calculada a través de la transformada de Fourier discreta. Cabe hacer notar que $$\text{Re}\,\text{Li}_2(e^{i\theta})=\sum_{n\geq 1}\frac{\cos(n\theta)}{n^2} $$ es un continuo y tramos función parabólica, como la formal primitivo de la onda de diente de sierra. Por el contrario, $\text{Im}\,\text{Li}_2(e^{i\theta})$ no tiene una buena forma cerrada, en general. Ref.: https://en.wikipedia.org/wiki/Spence%27s_function

Answer 3

KM101 borró su pista ... no estoy seguro de por qué.

$\frac{1}{3^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{9^2}+\dots=\frac{1}{3^2 1^2}+\frac{1}{3^2 2^2}+\frac{1}{3^2 3^3}+\dots=\frac{1}{9}(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots)$

$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{8^2}+\dots=\frac{1}{2^2 1^2}+\frac{1}{3^2?? 1^2}+\frac{1}{3^2 ??1^2}$