Al calcular el límite del producto infinito$\prod_{k=3}^n (1-\tan^4\frac{\pi}{2^k})$

Question

Deje $S_n=\prod_{k=3}^n (1-\tan^4\frac{\pi}{2^k})$. ¿Cuál es el valor de $\lim_{n \to \infty} S_n$ ?

Lo que he intentado:-

$\log S_n=\sum_{k=3}^n \log (1-\tan^4\frac{\pi}{2^k})$.
Desde $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}=1$, $\tan^4\frac{\pi}{2^k}\approx \left(\frac{\pi}{2^k}\right)^4$
Por lo tanto, $\log S_n=\sum_{k=3}^n \log (1-\frac{\pi^4}{2^{4k}})\approx \sum_{k=3}^n\left( -\frac{\pi^4}{2^{4k}}\right) $

Tomando como límite $n \to \infty$, $\lim_{n \to \infty} \log S_n=\frac{-\pi^4}{3840}$.

Finalmente, $\lim_{n \to \infty}S_n=e^{\frac{-\pi^4}{3840}}\approx 1-\frac{\pi^4}{3840}$

Estoy en lo cierto? Hay otro método mejor que el rendimiento de la precisión del límite? Me dijeron que el límite exacto debe ser una de las $4$ opciones de:- $\frac{\pi^3}{4},\frac{\pi^3}{16}, \frac{\pi^3}{32},\frac{\pi^3}{256}$. Supongo que la tercera opción es la correcta, ya que se da casi el mismo valor que he obtenido.

Answer 1

Usted obtiene una aproximación al valor exacto. Con el fin de encontrar exacto vale, tenga en cuenta que $$(1-\bronceado^4(\alpha/2))=(1+\tan^2(\alpha/2))(1-\tan^2(\alpha/2))= \frac{4}{\cos(\alpha)}\left(\frac{\tan(\alpha/2)}{\tan(\alpha)}\right)^2.$$ Por lo tanto, como $n$ va al infinito, $$\prod_{k=3}^n \left(1-\tan^4(\pi/2^k)\right)=\frac{4^{n-2}}{\prod_{k=3}^n\cos(\pi/2^{k-1})}\cdot \left(\prod_{k=3}^n\frac{\tan(\pi/2^k)}{\tan(\pi/2^{k-1})}\right)^2\\=4^{n-2}\cdot 2^{n-2}\sin(\pi/2^{n-1})\cdot \left(\frac{\tan(\pi/2^n)}{\tan(\pi/2^{2})}\right)^2\to \frac{\pi^3}{32}$$ donde hemos utilizado el hecho conocido de que $$\prod\limits_{k=2}^{n}\cos\left(\frac{\pi }{2^{k}}\right)= \frac{1}{2^{n-1}\sin(\pi/2^n)}$$ (véase, por ejemplo, Cómo evaluar $\lim\limits_{n\to \infty}\prod\limits_{r=2}^{n}\cos\left(\frac{\pi}{2^{r}}\right)$).

Answer 2

Lo que usted describe es cómo llegar a una aproximación del producto real. Pero usted puede calcular el valor exacto para el producto utilizando identidades trigonométricas.

$$\begin{split} S_n&=\prod_{k=3}^n (1-\tan^4\frac{\pi}{2^k})\\ &=\prod_{k=3}^n (1-\tan^2\frac{\pi}{2^k})(1+\tan^2\frac{\pi}{2^k})\\ &=\prod_{k=3}^n (\frac {\cos^2(\frac{\pi}{2^k}) - \sin^2(\frac{\pi}{2^k})}{\cos^2 \frac{\pi}{2^k}})(\frac 1 {\cos^2\frac{\pi}{2^k}})\\ &=\prod_{k=3}^n \frac {\cos(\frac {\pi}{2^{k-1}})}{\cos^4 \frac{\pi}{2^k}}\\ &= \frac{\cos\frac \pi 4}{\cos^4 \frac \pi 8}\frac{\cos\frac \pi 8}{\cos^4 \frac \pi {16}}\frac{\cos\frac \pi 16}{\cos^4 \frac \pi {32}}...\\ &=\cos\frac \pi 4 \prod_{k=3}^n \frac 1 {\cos^3 \frac \pi {2^k}} \end{split}$$ Ahora ya $$\frac 1 {\cos \theta}=\frac {2 \sin \theta}{\sin 2\theta}$$ se puede comprobar que, para cualquier $0<\theta<\pi$, $$ \prod_{k=1}^{+\infty} \frac 1 {\cos \frac \theta {2^k}}=\frac \theta {\sin \theta} $$ Que los rendimientos, para $\theta=\frac \pi 4$, $$ \prod_{k=3}^{+\infty} \frac 1 {\cos \frac \pi {2^k}}=\frac \pi {4\sin \frac \pi 4} $$ Así que, finalmente, $$\lim_{n\rightarrow+\infty}S_n=\left(\cos{\frac \pi 4}\right)\frac {\pi^3} {4^3\sin^3 \frac \pi 4}$$ En otras palabras, $$\lim_{n\rightarrow+\infty}S_n=\frac {\pi^3}{32}$$