¿Cómo podemos ver que la prueba de los siguientes problemas de análisis real es razonable?

Question

Problema: Que $f(x)$ sea una función de valor real definida en $\mathbb{R}$ demostrar que el conjunto de puntos $$E = \{x\in \mathbb{R}: \lim_{y\rightarrow x} f(y) = +\infty\}$$ es un conjunto finito o contable.

Prueba: Sea $g(x) = \arctan f(x), x \in \mathbb{R}$ . Entonces el conjunto de puntos $E$ puede escribirse como $$E = \{x\in \mathbb{R}: \lim_{y\rightarrow x} g(y) = \frac{\pi}{2}\}$$ Por lo tanto, $E$ es un conjunto finito o contable.

La prueba anterior es de un libro de texto de análisis real. ¿Cómo podemos ver que el conjunto $E$ en esta prueba es finito o contable?

Answer 1

Ahora mismo, no tengo ni idea de por qué podemos ver inmediatamente que $ E=\{ x\in \mathbb{R} \;|\;\lim_{y\to x} g(y) = \frac{\pi}{2}\} $ es como máximo contable. Pero he encontrado el siguiente argumento que demuestra que el conjunto $E$ es como máximo contable.

Prueba : Supongamos que $x \in E$ . Si $f(x)< n$ Entonces, como $\lim_{y\to x}f(y) =\infty$ podemos encontrar un $\delta>0$ tal que $$ (x-\delta,x)\cup (x,x+\delta) \subset f^{-1}((n,\infty)). $$ Consideremos ahora el conjunto abierto $$U_n=\text{int}f^{-1}((n,\infty)) = \bigcup_{k=1}^\infty (\alpha_k, \beta_k)$$ donde $\{(\alpha_k, \beta_k)\}$ es una familia disjunta de intervalos abiertos. El argumento anterior muestra que $x$ es uno de los puntos finales $\alpha_k$ o $\beta_k$ de $U_n$ para algunos $n\ge 1$ . Dado que hay a lo sumo un número contable de estos puntos finales, se deduce que $E$ es contable. $\blacksquare$

Después de ver el argumento anterior, sentí que no es trivial y me hizo pensar que probablemente es una confusión del autor, o puede haber algunos resultados que el autor no mencionó.