Pregunta de límites de análisis real

Question

Actualmente me estoy preparando para un examen del primer curso de análisis y mi respuesta no coincide con las soluciones del modelo, pero no puedo ver dónde falla mi lógica

La pregunta:

Encuentra el límite de:

$$a_n :=\frac{2^{3n}-n3^n}{n^{1729}+8^n}$$

Mi intento:

Primero reescribir $8^n$ como $2^{3n}$ y dividirlo por $2^{3n}$

Esto nos da

$$= \frac{1-n\left(\frac{3}{8}\right)^n}{\large \frac{n^{1729}}{2^{3n}}+1}$$

y luego dividirlo por $n$ para obtener

$$= \frac{\frac{1}{n}-\left(\frac{3}{8}\right)^n}{\large \frac{n^{1728}}{2^{3n}}+\frac{1}{n}}$$

Mi respuesta es cero utilizando los siguientes límites:

$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} = 0$

y dado que $\frac{3}{8} <1$ $\implies\lim_{n\to\infty}\frac{3}{8}^n = 0$

Sin embargo, las soluciones del modelo sugieren que el límite es $1$, cualquier ayuda sería increíble.

Answer 1

y luego dividir por $n$ para obtener

$$= \frac{\frac{1}{n}-(\frac{3}{8})^n}{\frac{n^{1728}}{2^{3n}}+\frac{1}{n}}$$

Mi respuesta es cero usando los siguientes límites:

$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} = 0$

y dado que $\frac{3}{8} <1$ $\implies\lim_{n\to\infty}\frac{3}{8}^n = 0$

Pero no solo el numerador tiende a cero, ¡el denominador también...! Eso te dejaría con una forma indeterminada, por lo que no puedes concluir (de esto) que el límite es $0$.

En su lugar, retrocede un paso a la forma:

$$= \frac{1-\color{blue}{n(\frac{3}{8})^n}}{\color{red}{\frac{n^{1729}}{2^{3n}}}+1}$$

y trata de razonar por qué las expresiones azul y roja tienden a cero, ¿entonces?

Answer 2

La expresión $$\frac{\frac{1}{n}-(\frac{3}{8})^n}{\frac{n^{1728}}{2^{3n}}+\frac{1}{n}}$$ no se puede usar inmediatamente para encontrar el límite. Claro, el numerador tiende a $0$, pero el denominador también lo hace.

De hecho, deberías haber parado cuando llegaste a $$\frac{1-n(\frac{3}{8})^n}{\frac{n^{1729}}{2^{3n}}+1}$$

donde deberías notar que tanto el denominador como el numerador tienden a $1$.