¿Por qué la potencia exterior $\bigwedge^kV$ una representación irreducible de $GL(V)$ ?

Question

$\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}$

Dejemos que $V$ ser un verdadero $n$ -espacio vectorial de dimensiones. Para $1<k<n$ tenemos una representación natural de $\GL(V)$ a través de la $k$ potencia exterior:

$\rho:\GL(V) \to \GL(\bigwedge^kV)$ dado por $\rho(A)=\bigwedge^k A$ . Estoy tratando de mostrar $\rho$ es una representación irreducible. Sea $0\neq W \le \bigwedge^kV$ sea una subrepresentación. Si podemos mostrar $W$ contiene un elemento descomponible distinto de cero, hemos terminado.

En efecto, supongamos que $W \subsetneq \bigwedge^kV$ . Entonces, existe un elemento descomponible $\sigma=v_1 \wedge \dots \wedge v_k \neq 0$ , de tal manera que $\sigma \notin W$ . Suponemos que $W$ contiene un elemento descomponible no nulo $\sigma'=u_1 \wedge \dots \wedge u_k \neq 0$ . Definir un mapa $A \in \GL(V)$ ampliando $u_i \to v_i$ . Entonces

$$\rho(A) (\sigma')=\bigwedge^k A(u_1 \wedge \dots \wedge u_k)=\sigma \notin W,$$

mientras que $\sigma' \in W$ , con

Así, la pregunta se reduce a lo siguiente: ¿Por qué toda subrepresentación no nula contiene un elemento descomponible no nulo?

Hice una pregunta aún más ingenua aquí -si todo subespacio de dimensión superior a $1$ contiene un elemento descomponible distinto de cero?

Answer 1

Elige una base $e_1, \dots e_n$ de $V$ para que podamos identificar $GL(V)$ con $GL_n(F)$ (comenzaremos trabajando con un campo base arbitrario $F$ y luego restringir $F$ más tarde). Escriba $T$ para el subgrupo de $GL_n(F)$ formado por matrices diagonales. Un elemento de $T$ consta de algunos elementos diagonales $(t_1, \dots t_n)$ y actúa sobre $\Lambda^k(V)$ enviando $e_i$ a $t_i e_i$ y luego se extiende multiplicativamente.

Esto significa que cada tensor puro $e_{i_1} \wedge e_{i_2} \wedge \dots \wedge e_{i_k} \in \Lambda^k(V)$ es un vector propio simultáneo para cada elemento de $T$ ; dicho de otra manera, abarca un $1$ -(por lo tanto, simple) de la subrepresentación de $\Lambda^k(V)$ , considerada como una representación de $T$ . (Estos son los "espacios de peso" de esta representación.) Dado que $\Lambda^k(V)$ es la suma directa de estos $1$ -se deduce que $\Lambda^k(V)$ es semipreparado como representación de $T$ .

El significado de la semisimplicidad es que cualquier $GL(V)$ -subrepresentación de $\Lambda^k(V)$ también es un $T$ -y las subrepresentaciones de las representaciones semisimples son semisimples; también deben tener los mismos componentes simples, en las mismas o menores multiplicidades. Además, si $F$ es cualquier campo excepto $\mathbb{F}_2$ (sobre $\mathbb{F}_2$ desgraciadamente, $T$ es el grupo trivial), los diferentes $1$ -Las representaciones de las dimensiones anteriores son todas no isomorfas. La conclusión de esto es que cualquier $GL(V)$ -subrepresentación de $\Lambda^k(V)$ debe ser una suma directa de espacios de peso.

Pero ahora hemos terminado (de nuevo, para cualquier campo $F$ excepto $\mathbb{F}_2$ ), por ejemplo porque $GL(V)$ actúa transitivamente en estos espacios de peso.