¿Una forma más fácil de encontrar la cantidad de soluciones entre una línea y una cuadrática?

Question

Existe una mejor manera de encontrar el número de soluciones del sistema: $y=(x-7)(3x+4)$ e $x=3y-1$ que no implican el cálculo?

Sé que estas son las $2$ pero eso es debido a la sustitución de una ecuación en la otra y encontrar el discriminante resultante de la ecuación cuadrática, pero es un poco tedioso y esto se supone que debe ser una pregunta que se puede hacer dentro de un minuto.

Puedo decir que el vértice de arriba-apertura de la parábola está por debajo de la $y$ intercepto de la línea y este sería el resultado en $2$ intersecciones?

Answer 1

Una idea simple. Observe que el punto $(7, 8/3)$ se encuentra dentro de la parábola (fácil, ya que $y(7)=0<8/3$ ) y también es un punto en la línea $x=3y-1$ . Por lo tanto, un punto de la línea se encuentra dentro de la parábola, lo que significa que la línea entrecruzará la parábola en dos puntos (a menos que la línea sea vertical, lo que no es el caso aquí).

Answer 2

Es cierto que si la parábola abre hacia arriba y hacia cualquier punto de la parábola se encuentra directamente debajo de cualquier punto en la línea, entonces la parábola y la recta se cortan en dos puntos distintos. Pero a menos que usted ya tiene este hecho disponible, se merece una justificación en su propio derecho, y que no va a ser más fácil que probar el hecho original (un método para probar el último hecho, por ejemplo, está utilizando el discriminante).

En cualquier caso, no es demasiado trabajo para demostrar la afirmación de que en esta pregunta utilizando el discriminante: podemos reescribir la línea de $y = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3}$ y la parábola como $y = 3 x^2 - 17 x - 28$. Por lo tanto, el $x$-las coordenadas de los puntos de intersección son las soluciones de $$3 x^2 - \frac{52}{3} x - \frac{85}{3} = 0 .$$ Computing the discriminant of the l.h.s. requires some arithmetic, but we only need its sign: In our case, $a > 0, c < 0$, so $b^2 - 4 a c > 0$ , y por lo tanto hay dos soluciones distintas.

Como alternativa, la aplicación de Descartes' Regla de los Signos nos dice más: Que no es exactamente una solución positiva y una negativa de la solución.

Answer 3

Paso 1: la Reescritura de ambas ecuaciones en la forma $y = f(x)$:

$$\begin{aligned} y &= 3x^2 - 17x - 28 \\ y &= \frac x3 + \frac13 \end{aligned}$$

Paso 2: Restar una ecuación de la otra:

$$0 = 3x^2 - 17x - \frac x3 - 28 - \frac13$$

Paso 3: Observe que el lado derecho es negativo en $x = 0$ (ya que el término constante es negativa) y tiende a $+\infty$ como $x$ tiende a $+\infty$ o $-\infty$ (dado que el coeficiente de la $x^2$ plazo es positivo). Por lo tanto, debe haber al menos uno positivo y uno negativo de la solución. Y dos es el número máximo de soluciones de una (no degenerada) ecuación cuadrática puede tener, así que no puede haber más.

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Ps. Si el término constante había pasado a ser positivo, le he tenido que comprobar si el lado derecho todavía podría ser negativo en algún otro lugar. Un truco útil es encontrar el mínimo de la RHS a partir del paso 2 por tomar su derivada con respecto a $x$ y ajuste a cero:

$$\frac{d}{dx} 3x^2 - 17x - \frac x3 - 28 - \frac13 = 2 \cdot 3x - 17 - \frac13 = 0 \\ \implies x = \frac{17 - \frac13}{6} = \frac{51 - 1}{18} = \frac{25}{9}$$

el que puede, a continuación, enchufe en el lado derecho para ver si es positivo, cero o negativo no (lo que da 0, 1 o 2 soluciones, respectivamente). Pero dependiendo de qué tan rápido el trabajo y cuáles son las herramientas que tiene, que puede tomar un poco más de un minuto.

Por supuesto, si usted espera que hay dos soluciones y solo quiero confirmar, usted sólo tiene que encontrar algún valor de $x$ para que el lado derecho es negativo. Así que para un rápido y sucio de verificación, usted podría escoger sólo algunas agradable y redondo valor de $x$ cercano al mínimo, como, por ejemplo, $x = 3 \approx \frac{25}{9}$, y conectarlo. Si usted obtiene un valor negativo, ya que es suficiente para confirmar la existencia de dos soluciones.