Estimador imparcial de PMF binomial

Question

Hay un estimador imparcial de PMF de una variable aleatoria $Y=\sum_{i=1}^{n} X_n $ donde $X_i$ son independientes de ensayos de Bernoulli con probabilidad de $p$, es decir, el estimador de: \begin{equation}\tag{1} f(k,n)=P(Y=k|n)={n\choose k}p^k(1-p)^{n-k} \end{equation} para una arbitraria $n \geq 0$ e $n\geq k \geq 0$ cuando se basa en una muestra de $s $ observaciones que dijo Bernoulli RV; $\lbrace x_i\rbrace_{i=1}^{s}$?

Más info y el progreso hasta el momento:
Un candidato obvio para el estimador de la PMF sería: \begin{equation}\tag{2} \hat{f}(k,n)={n\choose k}\hat{p}^k(1-\hat{p})^{n-k} \end{equation} donde $\hat{p}= \frac{\sum_{i=1}^{s}x_i}{s}$. Que es consistente, pero claramente no es imparcial, tal y como se desprende de la desigualdad de Jensen. Hasta ahora he encontrado que el estimador basado en la distribución hipergeométrica: \begin{equation}\tag{3} \hat{f}(k,n)=\dfrac{{\hat{p}*s\choose k} {s-\hat{p}*s\choose n-k}}{{n\choose k}} \end{equation} con $\hat{p}$ se define como la anterior parece ser imparcial (al menos en mi simulaciones, aunque yo no era capaz de demostrarlo). Esta función $\hat{f}(k,n)$ es sin embargo útil sólo para $n\leq s$. ¿Existe algún estimador imparcial de $f(k,n)$ que funcione también para $n>s$? (Posiblemente algunos de corrección del estimador de (2) o alguna generalización del estimador de (3). O algo completamente diferente.)

Answer 1

Ya que, por un Binomio $\text{B}(n,p)$ variable $X$, e $k\le n$, el factorial momento está dada por $$\mathbb{E}_p[X(X-1)\cdots(X-k+1)] = n(n-1)\cdots(n-k+1)p^k,$$ el $s$ Bernoulli rvs $\lbrace X_i\rbrace_{i=1}^{s}$ puede volver fácilmente independiente, imparcial estimaciones de las $p^k$ e $(1-p)^{n-k}$ si $k+(n-k)\le s$, es decir, si $n\le s$. Y, por tanto, de $\mathbb{P}(X=k)\propto p^k(1-p)^{n-k}$.

Parece probable que un estimador imparcial de los de arriba no existe cuando se $n>s$, ya que, por ejemplo, el desarrollo de la $(X_1+\ldots+X_s)^k$ muestra que el máximo número de términos en un producto es $s$, con la expectativa de $p^s$. No hay mayor poder de $p$ o $(1-p)$ pueden aparecer por esta razón. En realidad, la prueba es sencillo: hay que considerar que existe un estimador imparcial, que se denota por a$G(X_1+\ldots+X_s)$ ya que por suficiencia existe un estimador imparcial basada en la suma. A continuación, se satisface $$\mathbb{E}_p[G(X_1+\ldots+X_s)]=\sum_{j=1}^s \underbrace{G(j){s \choose j}}_\text{independent from $p$}p^j(1-p)^{s-j}=p^k(1-p)^{n-k}$$o $$\sum_{j=1}^s \overbrace{G(j){s \choose j}}^{\text{non-negative}}p^{j-k}(1-p)^{s-j-n+k}=1$$ Dejando $p$ tienden a $0$ o $1$ conduce a la explosiva términos cuando se $j-k<0$ e al $s-j-n+k<0$, a menos que el coeficiente de $$G(j){s \choose j}p^{j-k}$$ is equal to zero. If $n>s$, then, for all $0\le j\le s$ and all $0\le k\le n$, either $j<k$ or $s-j<n-k$, which leads to an impossibility since $G(m)=0$ for all $0\le m\le s$. Therefore there is no unbiased estimator of $p^k(1-p)^{n-k}$ when $n>s$.