Si$f$ es analítico y$f(z)^2$ =$\bar f(z)$ entonces$f$ es constante

Question

Actualmente estoy atascado en el siguiente problema.

Sea f una función analítica en un conjunto abierto conectado no vacío V. Si $f(z)^2$ = $\bar f(z)$ $\forall z\in V$% entonces f es constante en V.

Creo que debería estar trabajando con el teorema del módulo máximo, pero no estoy seguro de cómo usarlo.

Answer 1

No hay necesidad de. Primera resolver $$ Z^2=\bar{Z}\qquad (1) $$ Eq.(1) implica $Z^3=|Z|^2$ que ha $S=\{1,j,j^2,0\}$ como conjunto de soluciones, con $$ j=e^{\frac{2\pi}{3}} $$ entonces, incluso una función continua $f:V\to S$ no puede "saltar" (debido al hecho de que $V$ está conectado) y, como $S$ es finito, $f$ debe ser constante. Espero que esto ayude.

Answer 2

$$\|f(z)\|^2 = \|f(z)^2\|=\|\overline{f}(z)\|=\|f(z)\| $$ por lo $\|f(z)\|$ es $0$ o $1$, constantemente, ya que $\|f(z)\|$ es continua. En el primer caso, $f(z)\equiv 0$, en el segundo, el rango de $f$ es un subconjunto de a$S^1$. Hay sólo tres puntos en $S^1$ tal que $\xi^2=\overline{\xi}$, por lo que nuestro $f$ está en constante $0$, $1$, $\omega$ o $\omega^2$.