¿Son únicos los dominios de factorización ideal primarios noetherianos?

Question

Deje $A$ ser un dominio que satisface la siguiente condición:

Si $\mathfrak p_1,\dots,\mathfrak p_k$ son distintos de cero el primer ideales de $A$, y si $m$ e $n$ son elementos distintos de a$\mathbb N^k$, luego tenemos $$ \mathfrak p_1^{m_1}\cdots\mathfrak p_k^{m_k}\ne\mathfrak p_1^{n_1}\cdots\mathfrak p_k^{n_k}. $$

Es $A$ necesariamente noetherian?

Esta pregunta está motivada por estas respuestas pendientes de user26857 y Julian Rosen.

user26857 la respuesta de la muestra que noetherian dominios satisfacen la condición anterior, mientras que Julián respuesta muestra que muchos no noetherian dominios no se satisfacen.

Answer 1

Vamos a llamar a los dominios de tener esta propiedad $UPIF$-dominios, como en su primer post.

Observar que un dominio es localmente $UPIF$ es $UPIF$.

De hecho, dado $$\mathfrak p_1^{m_1}\cdots\mathfrak p_k^{m_k}=\mathfrak p_1^{n_1}\cdots\mathfrak p_k^{n_k}$$ nos puede localizar en cada una de las $\mathfrak{p_i}$ uno a la vez y utilizar la suposición de que $D_{\mathfrak{p_i}}$ es $UPIF$ a deducir que $m_i = n_i$.

Desde su vinculados Preguntas/Respuestas, así tenemos que un localmente Noetherian de dominio es localmente UPIF, por lo tanto

Un local Noetherian de dominio es $UPIF$.

Sin embargo, existen localmente Noetherian dominios que no son Noetherian.

Un clásico de referencia para tales ejemplos es la sección 2 de este documento de Heinzer y Ohm.

Para más recientes de referencia, yo sugeriría que Loper del artículo en Casi Dominios de Dedekind, Que No Son Dedekind. En la sección 3, se describen cinco distintas técnicas para la producción de ejemplos de no-Noetherian dominios que son localmente discreta valoración de los anillos.