¿Cómo descubro que las siguientes dos matrices son similares?

Question

¿Cómo puedo saber que los siguientes dos matrices son similares? $N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

y $M= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Yo al principio traté de pensar de la izquierda de la multiplicación de una matriz de $P$ como una fila de operación y trató de

$P= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

tales que $PN = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ but then $PNP^{-1} \neq M$.

Mi álgebra lineal es un poco oxidado. ¿Hay algo más elaborado como una manera de hacer esto?

Answer 1

Deje $(e_1,e_2,e_3,e_3)$ ser el estándar de la base de $\mathbb{R}^4$. Usted tiene:

• $N.e_1=0$;
• $N.e_2=e_1$;
• $N.e_3=0$;
• $N.e_4=0$.

Usted también tiene:

• $M.e_3=0$;
• $M.e_4=e_3$;
• $M.e_1=0$;
• $M.e_2=0$.

Por lo tanto, si usted ve $M$ como lineal mapa de $\mathbb{R}^4$ dentro de sí mismo, la matriz de $M$ con respecto a la base $(e_3,e_4,e_1,e_2)$ es la matriz $N$. Por lo tanto, $N$ e $M$ son similares.

O usted puede tomar el$$P=\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix},$$, que es básicamente la misma cosa.

Answer 2

Las dos matrices están hechas de bloques jordanos; en formato de bloque $2\times2$ , son $$ N = \begin{bmatrix} J & 0 \\ 0 & 0 \end {bmatrix} \ qquad M = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & J \end {bmatrix} $$ Usted obtiene matrices similares si realiza un cambio de fila junto con el interruptor de columna correspondiente; en este caso solo hay un cambio posible: $$ M = \begin{bmatrix} 0 & I_2 \\ I_2 & 0 \end {bmatrix} N \begin{bmatrix} 0 & I_2 \\ I_2 & 0 \end {bmatrix} $$

Answer 3

Deje $P_{ij}$ ser una matriz que conmuta la $i$th y $j$th filas. A continuación, $P^T_{ij}$ cambia el $i$th y $j$th columnas. Por lo tanto, $M=P^T_{24}P_{13}N$. Si usted toma $P=P^T_{24}P_{13}$, a continuación, $PNP^{-1}$= $P^T_{24}P_{13}N (P^T_{24}P_{13})^{-1}$=$M(P^T_{24}P_{13})^{-1}$ = $MP_{13}^{-1}(P^T_{24})^{-1}$. La conmutación de filas y columnas es su propio inverso, por lo que este es $MP_{13}P^T_{24}$. Si la izquierda-la acción de una matriz es cambiar de filas, el derecho de acción de que matrix es para cambiar las columnas. Por lo $MP_{13}P^T_{24}$ significa cambiar el 1 y el 3 de columnas de a$M$, a continuación, cambie el 2do y 4to filas. Pero que no afecta a $M$. Por lo $PNP^{-1}$=$M$.