(Una nota sobre la notación: voy a simple uso de barras verticales para indicar la cardinalidad de un conjunto. No hay nada más involucrados confundir con.)
Sólo con la estructura algebraica, la única cosa que importa es la cardinalidad de la base. Vamos a una base de $U$ ser $S$; el doble de espacio de $U^*$ puede ser comprendido como el espacio de funciones de $S$ a la base de campo de $F$. La cardinalidad de ahí, $|F|^{|S|}$, sale como lo de $|F|$ e $2^{|S|}$ es mayor.
Ahora, considere la posibilidad de un espacio vectorial $V$ con un infinito base $T$. Este espacio puede ser comprendido como el espacio de finitely las funciones de $T$ a $F$. La cardinalidad aquí es el producto de las cardinalidades $|T|\cdot |F|$, que es justo lo que uno es mayor.
Entonces, si $|F|$ es decir, si estamos trabajando con uno de los principales campos de $\mathbb{Z}/p$ o $\mathbb{Q}$, la cardinalidad de un infinito-dimensional espacio vectorial será la de su base, y la cardinalidad de un doble será la base de' juego de poder. La posible infinita cardenales que puede ser la dimensión de un espacio dual son simplemente el poder de los conjuntos de infinitos cardenales.
Ahora, ¿qué acerca de los campos más grandes? Si ampliamos a un campo más amplio, manteniendo la misma base, que es la misma dimensión del espacio vectorial. ¿Qué acerca de su doble? Podemos mantener la misma base?
Deje $F$ ser una extensión del primer campo de $K$, y deje $B$ ser una base para $F$ sobre $K$. Supongamos $U$ tiene base $S$ sobre $K$, e $U'$ es la extensión con base $S$ sobre $F$. A continuación, vamos a $V=U^*$ e $V'=(U')^*$, $T$ base para $V$ (más de $K$).
Es $T$ linealmente independientes sobre $F$ en $V'$? Así, podemos romper cualquier dependencia lineal de la relación en componentes, uno para cada elemento de a$B$ - y desde $B$ es linealmente independiente sobre $K$, cada componente debe dar una dependencia lineal de la relación de $\sum_i a_i (b_j t_i)$ sobre $K$. Los elementos de $T$ son linealmente independientes sobre $K$, por lo que cada uno de estos dependencia lineal de las relaciones es trivial. Suma más de $B$, y todos los coeficientes $\sum_j a_ib_j$ son triviales en $F$, lo $T$ es linealmente independiente sobre $F$ así. Esa es una dirección de la dimensión de $V'$ sobre $F$ es al menos tan grande como la de $V$ sobre $K$, calculado anteriormente como $2^{|S|}$.
No $T$ span $V'$? Por desgracia, no necesariamente. Si tomamos un número finito de combinaciones lineales de más de $F$ de los elementos de $T$, $K$-intervalo de los valores de estas funciones está contenida en el $K$útil de los coeficientes de la combinación lineal - que es finito-dimensional. Si $F$ es lo suficientemente grande, habrá elementos de $V'$ con los valores de la función que tienen un infinito-dimensional $K$-span.
Ahora, todo eso no es demasiado problema en la mayoría de los casos. Mientras $|F|\le 2^{|S|}$, todavía tenemos que el límite superior para bloquear la dimensión del espacio dual como $2^{|S|}$. Esto cubre casi todos los ejemplos, incluyendo todos los espacios, por encima de sectores como la $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$. Realmente grandes campos - voy a seguir pensando.
[Agregado en editar] Como se señaló en el material vinculado, es un conocido teorema de que en los grandes casos de campo, la dimensión es tan grande como sea posible, la plena $|F|^{|S|}$. Un número es siempre la cardinalidad de un juego de poder, así que no hay nuevas posibilidades para la dimensión de un conjunto dual se introducen de esta manera.
