Derivación de la ecuación del plano tangente a las superficies planas

Question

Estaba revisando un recurso que encontré en Internet

http://mathonline.wikidot.com/tangent-planes-to-level-surfaces

En esta parte: ¿Insinúan que $r'(t_0)$ es igual al vector $(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$ ? Si es así, ¿cómo lo han conseguido?

Tienen $r(t)$ es igual al vector $(x(t),y(t),z(t))$ ¿están diciendo que la derivada de $r(t)$ es $(x-x(t),y-y(t),z-z(t))$ para que $r'(t_0)$ es $(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$ ? Solo estoy divagando pero no entiendo como pudieron hacer la transición de $r'(t)$ a $(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$ en la foto de arriba, o bien, cómo se han $r'(t)$ en primer lugar...

Answer 1

No están insinuando que $r^\prime(t_0)$ es igual a $(x-x_0, y-y_0, z-z_0)$ .

En cambio, su razonamiento sigue dos pasos:

• En primer lugar, demuestran que para cualquier curva de la superficie que pase por un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ el gradiente $\nabla f$ en ese punto es ortogonal a la curva. Eso es porque $$\nabla f (x_0, y_0, z_0).r^\prime(t_0)=0$$

• Porque es cierto para cualquier curva en la superficie que pasa por $P$ concluyen que $\nabla f (x_0, y_0, z_0)$ debe ser ortogonal al plano tangente en ese punto. Esto, a su vez, implica que la ecuación del plano tangente es $$\nabla f (x_0, y_0, z_0).(x-x_0, y-y_0, z-z_0)=0$$ Es la definición de un plano dada por su normal y un intercepto (punto $P$ ).