¿Qué significa decir que$X_1, X_2$ tiene una distribución Normal "común"?

Question

Un ejercicio que pide la pregunta

Deje $X_1, X_2$ ser rvs que tiene un distribución Normal $N(0,1)$ con $\operatorname{Corr}(X_1, X_2) = \rho$. Calcular el coeficiente de la cola superior de la dependencia-para todos los $\rho \in [-1, 1]$.

¿Qué significa con él, dice que tienen un "común" de la distribución Normal?

Mi primer pensamiento fue que significó $X_1$ e $X_2$ son univariante normal $N(0,1)$ variables de distribución. Sin embargo, si esto es cierto, entonces la pregunta no tiene sentido. La cola de la dependencia no puede ser calculado.

Así que me quedo a creer que por "común" de la distribución Normal, la media de la distribución Normal bivariante?

Answer 1

Esto quiere decir que dos cosas son verdaderas.

Primero:

$$ P(X_1 < t) = P(X_2 < t) $$

para todos los números reales $t$ (es decir, $X_1$ e $X_2$ tienen la misma distribución, a menudo abreviada equidistributed se utiliza para describir esta condición).

Segundo:

$$ P(X_1 < t) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^t e^{\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2}} \,\text{d}x$$

para algunos números fijos $\mu$ e $\sigma$ (es decir, la distribución de $X_1$ (*) es una distribución normal).

Esto no implica que $(X_1, X_2)$ es la articulación normal, sin más suposiciones. Si esa era la intención, no es lo que el autor escribió.

(*) Dado que la primera condición, esto implica que la distribución de $X_2$ es también una distribución normal.

Answer 2

Creo que es "común" aquí sólo significa que la distribución marginal $\text{N}(0,1)$ es común a ambas variables aleatorias (es decir, tienen la misma distribución marginal). Aunque técnicamente esto es insuficiente para dar una distribución normal bivariante, creo que el escritor probablemente la intención de que forma:

$$\begin{bmatrix} X \\ Y \end{bmatrix} \sim \text{N} \Big( \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & \rho \\ \rho & 1 \end{bmatrix} \Big).$$

Esa especificación daría común distribuciones marginales $X \sim \text{N}(0,1)$ e $Y \sim \text{N}(0,1)$. Si yo fuera usted, me gustaría sugerir observando este tecnicismo, y, a continuación, proceder sobre la base de que las variables aleatorias son bivariante normal. Quizás desee tomar nota de la cuestión de nuevo como una advertencia una vez que usted dé su respuesta.

Answer 3

El ejercicio está mal formuladas. Sospecho que lo que se quiere decir es que las dos variables aleatorias son conjuntamente normal y común de distribución. Si están por separado normal, pero no en forma conjunta normal, entonces usted no tiene la información suficiente para responder a la pregunta. Si mi sospecha es correcto, entonces el ejercicio se han manifestado de forma conjunta normal.

Para tener un "común" de distribución simplemente significa que ambos tienen la misma distribución. Por lo tanto: \begin{align} \require{cancel} & \left[ \begin{array}{l} X_1 \\ X_2 \end{array} \right] \sim \xcancel{\operatorname N\left( \left[ \begin{array}{l} \mu_1 \\ \mu_2 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{cc} \sigma_1^2 & \rho \sigma_1\sigma_2 \\ \rho\sigma_1\sigma_2 & \sigma_2^2 \end{array} \right] \right)} & & \longleftarrow \text{ no es común} \\[10] & \left[ \begin{array}{l} X_1 \\ X_2 \end{array} \right] \sim \operatorname N\left( \left[ \begin{array}{l} \mu \\ \mu \end{array} \right], \left[ \begin{array}{cc} \sigma^2 & \rho \sigma^2 \\ \rho\sigma^2 & \sigma^2 \end{array} \right] \right) & & \longleftarrow\text{ comunes} \end{align} En el segundo caso tenemos a$X_i\sim\operatorname N(\mu,\sigma^2)$ para $i=1,2,$ así cada uno se distribuye normalmente y se tiene que la distribución normal en común.