Desigualdad trigonométrica$ 3\cos ^2x \sin x -\sin^2x <{1\over 2}$

Question

Estoy tratando de resolver esto. Encontrar todos los $x$ para los que es válido lo siguiente:

$$ 3\cos ^2x \sin x -\sin^2x <{1\over 2}$$

Y sin éxito. Por supuesto, si escribimos $s=\sin x$ entonces $\cos^2 x = 1-s^2$ y obtenemos $$6s^3+2s^2-6s+1>0$$ Pero éste no tiene raíces racionales así que aquí se detiene. Sospecho que Cardano no estaba en la mente de un problema proponente. Debe haber alguna trigonométricas truco no veo. También probé con $$\sin 3x = -4s^3+3s$$ , pero no ahora, ¿qué hacer con esto. Alguna idea?

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Oficial de la solución es la unión de $({(12k-7)\pi \over 18},{(12k+1)\pi\over 18})$ donde $k\in \mathbb{Z}$

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Answer 1

La solución y el problema no coinciden. Si se define:

$$f(x)=3\cos ^2x \sin x -\sin^2x$$

Que se puede esperar a ver:

$$f(\pi/18)=1/2$$

En realidad es 0.475082. Así que el problema y la solución no coinciden. Pero si edita el problema un poco:

$$ 3\cos ^2x \sin x -\sin^3x <{1\over 2}$$

...la solución y el problema parece ser coincidentes (nota: el cubo en lugar de cuadrado en el segundo término de la izquierda).

Así que tenemos una errata aquí! :) Y la versión correcta de es probable que el problema sea más fácil.

Answer 2

Consideramos que la desigualdad se encuentran:

$6s^3+2s^2-6s+1>0$, $s=\sin x$

Comparamos lado izquierdo con la siguiente ecuación:

$8s^3-4s^2-4s+1=0$

Que han soluciones: $s=\cos \frac{\pi}{7}, \cos \frac{3\pi}{7}, \cos \frac{5\pi}{7}$

Tenemos:

$$8s^3-4s^2-4s+1>2s^3-6s^2-2s$$

Esto significa que podemos escribir:

$2s^3-6s^2-2s<0$ para $s=\cos \frac{\pi}{7}, \cos \frac{3\pi}{7}, \cos \frac{5\pi}{7}$

Entonces tenemos:

$\sin x=\cos \frac{\pi}{7}=\sin (\frac{\pi}{2}-\frac {\pi}{7})⇒ x=\frac{5\pi}{14}$

Del mismo modo $x=\frac{\pi}{14}$ e $x=\frac{-3\pi}{14}$.