Encuentre el coeficiente general en la serie MacLaurin$(1+x)^{(1+x)^{(1+x)^{...}}}$

Question

Los nueve primeros términos de la serie de MacLaurin de la función siguiente es:

$$(1+x)^{(1+x)^{(1+x)^{...}}}= 1+x+x^2+\frac{3}{2}x^3+\frac{7}{3}x^4+4x^5+\frac{283}{40}x^6+\frac{4681}{360}x^7+\frac{123101}{5040}x^8+...$$

Esto puede ser verificado mediante la evaluación de la serie de grandes tetrations de $(1+x)$.

Sin embargo, me parece que tienen alguna dificultad tratando de llegar con el general coeficiente para las potencias de $x$.

Aquí están los valores de $f^{n}(0)$:

$f(0)=1$

$f^{1}(0)=1$

$f^{2}(0)=2$

$f^{3}(0)=9$

$f^{4}(0)=56$

$f^{5}(0)=480$

$f^{6}(0)=5094$

$f^{7}(0)=65534$

$f^{8}(0)=984808$

Una cosa que he notado es que parece que para ser divisible por $n$; sin embargo no sé a dónde ir desde allí.

Answer 1

Esta es una torre de poder infinita y tenemos

PS

Donde$$(1+x)^{(1+x)^{\dots}}=\frac{W(-\ln(1+x))}{-\ln(1+x)}$ es la función Lambert W y tiene expansión de serie conocida. No estoy seguro de ninguna forma cerrada para el término$W(x)$ th, pero esto da un enfoque más directo a este problema.

Answer 2

Si definimos la torre de energía$f(x):=(1+x)^{(1+x)^{(1+x)^{...}}}$ con$\sum\limits_{k=0}^\infty x^k a_k$, entonces obtenemos usando su derivado$\displaystyle\enspace f'(x)=\frac{f^2(x)}{(1+x)(1-f(x)\ln(1+x))}\enspace$ la recursión

PS

dónde y $$\sum\limits_{v=0}^k ( (k-v)a_{k-v} +(k+1-v)a_{k+1-v})\sum\limits_{j=1}^v\frac{(-1)^j}{j}a_{v-j}=\sum\limits_{v=0}^k a_v a_{k-v}$ .

Ejemplo:$\enspace a_0=1\enspace $,$\displaystyle\enspace (\sum\limits_{j=1}^v\frac{(-1)^j}{j}a_{v-j})|_{v=0}:=1\enspace $,$\enspace a_0=1$,$\displaystyle a_2=1=\frac{1}{1!}$, ...