derivada covariante vs. derivada exterior

Question

Tengo la siguiente pregunta. Sea $M$ sea una variedad riemanniana con métrica $g$ y $\nabla$ la conexión Levi-Civita. Dejemos además $\alpha \in \Omega^{k}(M)$ ser un $k$ -tal que $\nabla \alpha = 0$ . ¿Por qué es entonces $d \alpha = 0$ ?

Gracias, jan

Answer 1

No sé qué tipo de aproximación buscas, pero en coordenadas es fácil ver que (ignorando posibles factores combinatorios) la antisimetrización de una derivada covariante acaba con todo excepto con la derivada parcial que corresponde a la derivada exterior en coordenadas. Esto funciona para cualquier conexión libre de torsión.