Pregunta sobre variedades anidadas con límite que son difeomorfas.

Question

Supongamos $M, N$ son compactos colectores con el límite, con $M \subset \text{int}(N)$, y se supone que $M$ es diffeomorphic a $N$.

Es $N\setminus M$ automáticamente diffeomorphic a $\partial N \times [0,1]$? Si no, ¿qué es un contraejemplo?

Sospecho que la respuesta a la primera pregunta es negativa, pero no he logrado con un contraejemplo a pesar de disponer de una gran cantidad de imágenes, aunque en dos dimensiones. Yo también trató de demostrar que la pregunta tiene una respuesta positiva, siguiendo el flujo de gradiente de una función suave en $N$, pero no sé cómo se va a garantizar que dicha función no tiene puntos críticos, y esto parece estropear mi prueba de idea.

Answer 1

Un contraejemplo es un anillo$N=S^1\times [0,1]$ (piense en un disco plano con un disco abierto más pequeño eliminado), y$M$ que se encuentra dentro de un disco pequeño en$N$, por lo tanto, no es un límite paralelo.