Es $\mu(dx)$ o $d\mu(x)$ ? o son iguales?

Question

En la teoría de la probabilidad, he visto dos formas de una integral. Sea $\mu$ sea una medida de Borel y $f$ es una función. ¿Cuál es la diferencia entre las dos formas siguientes? \begin{eqnarray} \int_{\mathbb{R}^d} f(x) \mu(dx) \end{eqnarray} y \begin{eqnarray} \int_{\mathbb{R}^d} f(x) d\mu(x) \end{eqnarray} Por favor, dé algunas referencias para su respuesta.

Answer 1

Permítanme empezar diciendo que, lamentablemente, no tengo referencias a mano.

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Ambas son notaciones para la misma cosa: la integral de la función $f$ con respecto a la medida $\mu$ .

Cuál utilizar es cuestión de gustos.

Personalmente lo prefiero: $$\cdots\mu(dx)$$ porque de alguna manera una medición de lo infinitesimal pequeño $dx$ tiene lugar.

En el caso especial de que $\lambda$ denota la medida de Lebesgue en $\mathbb R$ se podría decir que tenemos la igualdad: $$\lambda(dx)=dx$$

es decir, la medida de $dx$ es igual a $dx$ sí mismo.

Si $\mu$ también es una medida sobre $\mathbb R$ y esto con una densidad $f$ wrt la medida de Lebesgue entonces podemos afirmar: $$\mu(dx)=f(x)\lambda(dx)=f(x)dx$$

Answer 2

Ya que las otras respuestas no proporcionaron una referencia y usted pidió una en los comentarios, se puede encontrar una referencia en Schillings Measures Integrals and Martingales (ISBN 9780521615259), página 77. Allí se dice: En caso de que necesitemos exponer la variable de integración, escribimos $$ \int u d \mu=\int u(x) \mu(d x)=\int u(x) d \mu(x) $$

Nótese que para una distribución de una variable aleatoria: $$\mathbb P_X(A)= \mathbb P ( X \in A)$$ Schilling también escribe $$\int u(X(\omega)) \mathbb P(d \omega)= \int u(s) \mathbb P (X \in ds)$$ para una función adecuada $u$ .

Answer 3

El $\mu(dx)$ es conveniente en los procesos estocásticos. Si $X$ es un proceso de Markov (para simplificar, homogéneo en el tiempo), entonces en lugar de una matriz de transición (como en las cadenas de Markov) se utilizan funciones de transición.

Ignorando algunas condiciones técnicas de mensurabilidad, una función de transición se define por la propiedad $$\mathbb{P}(X_t \in A \mid X_s = x) = \int_A P_t(x, dy)$$ Aquí suponemos que $P_t(x, \cdot)$ es una medida de probabilidad. La fórmula anterior significa que si $\mu = P_t(x, \cdot)$ entonces $$\mathbb{P}(X_t \in A \mid X_s = x) = \int_A \mu(dy)$$

Sería muy torpe escribir $$\mathbb{P}(X_t \in A \mid X_s = x) = \int_A dP_t(x, \cdot)$$